數學素養中的化歸思想

江欣恩 王向東

【摘要】 數學素養一直是數學教育教學關注的核心問題.不僅在課程標準文件上出現的次數頻繁，在實際教學中，數學素養對于數學教育教學也具有極大的意義.化歸思想作為中學生學習數學重要的思想方法，與數學素養有著什么關聯？本文基于數學素養研究的基礎，探索數學素養中的化歸思想以及化歸在中學數學中的滲透教學.

【關鍵詞】 中學教學;數學素養;化歸

一、數學素養

（一）數學素養與數學核心素養

《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》（以下簡稱《意見》）指出：課程改革的深化將提出各學段學生發展核心素養體系，明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，突出強調個人修養、社會關愛、國家情懷，更加注重自主發展、合作參與、創新實踐.在具體的課程改革中，將基于學科本質觀來確立學科素養，基于學科素養來選擇學科課程內容，基于學科課程內容來研究學業質量評價標準.

我們基于核心素養的界定下，探討數學素養.一般而言，數學素養就是核心素養在數學學科上的“投影”，或者說核心素養是各學科素養的整合與篩選.

另外，我們還可以從數學課程標準來探討數學素養的外延，在數學課程標準中，對關鍵數學能力和必備的數學品格來進行探討.

在《義務教育數學課程標準（2011版）》上指出：數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.這說明了數學素養的基礎性.在《普通高中數學課程標準（修訂稿）》上指出：數學核心素養是具有數學基本特征，適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力.

課程標準是基于數學學科的特征出發，明確了學生的培養目標.關于數學素養的要求，先提出空間想象能力、抽象概括能力，推理論證能力、運算求解能力，數據處理能力.然后換一個角度，再提出數學地提出、分析和解決問題的能力，數學表達和交流的能力.因此，通過核心素養與數學素養的定義對比，本文認為數學素養是具有數學基本特征的核心素養.

（二）數學素養的概念界定

在國內，對于數學素養概念的探究，主要有兩個方向的研究思路.

1.從素養的綜合特征上

從素養的綜合特征上來考慮，什么是素養.素養，就是一種平日的修養.康世剛、宋乃慶在《論數學素養的內涵及特征》上談到，數學素養指學生在已有數學經驗的基礎上，通過數學活動對數學的體驗、感情和反思，并在真實情境中表現出來的一種綜合性特征.廣義地講是一種綜合特征，狹義地講，是指在真實情景中有意識地應用數學知識與技能理性地處理問題的行為特征.在這個數學素養概念的界定上，是從素養是一種心理狀態或者特征出發來作數學的界定，由“素養”概念或者由“特征”概念限定（抽象）出來的或者說演繹出來的，其界定并不具有數學學科的屬性.

2.從數學學科活動上

從數學學科的活動、內容和性質上，對數學素養進行概念的界定，數學素養就是數學學科所特有的、需要學生掌握的數學能力.張奠宙、李仕锜、李俊在《數學教育學導論》上談到，數學素養就是數學思維能力，數學運算能力、邏輯思維能力和空間想象力，其核心則是邏輯思維能力.在這個數學素養概念的界定上，是基于考慮數學學科的特征，需要學生掌握基本的數學能力，其中核心是邏輯思維能力.

綜上所述，對于數學素養概念的界定，主要有兩個方向的思路，一個是從素養的綜合特征上，另一個是基于數學學科的特征.還有一種觀點是這兩個方向的綜合表述.

何小亞在《學生“數學素養”指標的理論分析》上談到，數學素養是指學生為了滿足自身發展和社會發展所必備的數學方面的品格和能力，是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體.實際上就是運用了“數學素養是數學領域的核心素養”.緊接著，在數學素養的構成要素上，給出了更加具體的表述，數學素養的構成要素為：數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀.

綜合上述的觀點，筆者對于數學素養的概念定義是：數學素養是指學生完成社會實踐活動所必備的數學方面的品格與能力，并且學生能在真實情境中表現出來的一種綜合性特征.

二、數學素養中化歸思想的體現

（一）化歸思想方法

在定義化歸上，章士藻認為，所謂化歸，從字義上說，就是轉化和歸結的意思.數學中的化歸方法，就是將數學問題進行規范化，將一個新的、有待解決的或未能解決的問題，通過某種轉化過程、歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題中去，從而最終求得解答的一種手段或方法.

張奠宙給出一個簡潔的定義，所謂化歸方法，就是將一個問題A進行變形，使其歸結為另一已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就解決了.定義的簡潔在于說明了化歸思想方法的精髓在于轉化的思想.

王林全根據化歸思想方法的特征，給化歸的定義是，將一個問題由繁化簡，由難化易，由復雜化簡單的過程稱為化歸.

綜合上述的觀點，筆者對于化歸概念定義是：化歸就是把一個我們需要解決的問題，通過一定的轉化方法，歸結到另一類已經解決或者比較容易解決的問題中.化歸思想方法的精髓在于轉化的思想.

（二）數學素養中化歸思想

在了解化歸思想方法的定義上，我們可以得出的結論，數學上大部分的問題，都可以通過化歸來解決，并且化歸最重要的思想方法在于轉化.在中學的數學素養上，是否體現了化歸思想方法的要求？

根據數學素養的概念，數學素養是指學生為了滿足自身發展和社會發展所必備的數學方面的品格和能力，是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體.化歸思想方法在數學素養中的體現，關鍵在于探究化歸思想方法是否學生為了滿足自身發展和社會發展所必備的數學方面的品格和能力.接下來從兩個方面來探究數學素養中的化歸思想，一個是數學素養的要求，另一個是化歸思想的價值.

1.數學素養的要求

數學素養具體是什么，一直沒有明確的說明.但是我們可以從課程標準上來研究數學素養包含的內容.課程標準上目標，規定了學生的培養方向和要求，從課程標準的目標，我們可以推斷在中學階段學生需要形成的數學素養具體的內容.

在《普通高中數學課程標準（修訂稿）》上提到，高中數學課程的總目標是使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要.數學素養的培養是基于學生的數學基礎，是一種長期穩定的數學修養.數學素養的培養需要一定的時間，這是數學素養的特點.

在《普通高中數學課程標準（修訂稿）》上具體目標的第一個，講述學生需要在掌握必要的數學基礎知識和基本技能上，體會其中所蘊含的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用.通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程.學生需要通過掌握數學的基本思想和方法，體會在后續學習中的作用，其中最關鍵的是能在后續的學習中運用這種數學思想方法.數學思想方法在實際中的應用，其中大部分都是基于化歸的數學思想方法.通過轉化，把需要解決的問題，歸結到另一類已經解決或者比較容易解決的問題中.

除了在課程標準上推斷出數學素養的要求，何小亞對于數學素養的構成要素給出了具體的總結：數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀.在此，化歸是屬于數學素養中的數學思想方法，并且是學生必備的基礎思想方法.

2.在中學教學中，化歸思想方法的價值

從化歸的價值，我們可以得出化歸思想方法是學生必備的數學素養之一.

（1）提高學生自覺應用數學思想方法解決實際問題的意識和能力.

張奠宙教授曾經說過：形式化不是數學的起源，也不是最終的目標.掌握數學思想方法，認識客觀世界的數量變化規律，并用于認識世界和改造世界，才是數學科學的真諦.學習數學，歸根到底不是為了考試，更重要的是掌握數學的思想方法并將數學應用到生活當中.化歸有利于提高學生自覺應用數學思想方法解決實際問題的意識和能力，幫助學生把實際問題轉化成容易解決的問題.

（2）化歸思想有利于加強數學新舊知識之間的聯系，促進學生學科基本結構和認知結構的形成與完善.

在中學教學中，化歸思想可以幫助學生把復雜的問題簡單化，生疏的知識轉化成學生熟悉的知識，有利于加強數學新舊知識之間的聯系，幫助學生形成一個完整的數學知識體系.

（3）化歸思想有利于培養學生的發散思維，提高學生的正遷移能力

化歸思想幫助學生基于已有的數學基礎上，解決新的數學問題，有利于提高學生的正遷移能力，幫助學生深刻地體會數學的內涵，靈活地運用數學知識.并且有利于培養學生的發散思維，掌握多種方法解決問題.

（4）化歸思想有利于培養學生對數學的興趣.

教學中應用化歸思想可以將復雜的問題簡單化，生疏的知識可以轉化為我們學習過的熟悉的知識，實際上將數學問題簡單化，有利于提高學生對數學的興趣，增強學生對學習數學的熱情.這與高中數學課程標準具體目標的第五條可以對應起來，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度.

由此我們可以看出，化歸作為一種數學思想方法，是數學素養中必不可少的一部分，是學生需要掌握的基本思想方法之一.

三、數學素養下，如何在中學中滲透化歸思想

（一）中學教學中化歸思想的滲透

1.基于數學學科的基本特征，教師應當重視化歸思想方法，認識到化歸是學生的基本能力.

化歸有利于加強新舊知識之間的聯系，促進學生學科基本結構和認知結構的形成與完善，化歸思想不僅在數學，甚至其他學科上，也有極大的用途.學無止境，學生在中學所學習到的知識是有限的，在未來的學習與生活中，對于學生起到重要作用的是基本的方法與技能.因此，比起傳授知識，教師在中學教學中，應該重視思想方法的傳授，教會學生學會學習，尤其重視化歸在學生認知結構上的作用.

2.數學地提出、分析和解決問題的能力.

在修改課程標準的歷程中，我們得出的結論是，教學越來越重視培養學生對于實際問題的解決能力.

學習數學，歸根到底不是為了考試，更重要的是掌握數學的思想方法并將數學應用到生活當中.在生活中，數學地提出、分析和解決問題，根源上是化歸.化歸有利于學生把實際的問題轉化成數學問題，通過解決數學問題，從而解決生活上的實際問題.因此，在教學過程中，教師應當重視化歸的“實際價值”，有意引導學生自覺應用數學思想方法解決實際問題.

【參考文獻】

[1]康世剛，宋乃慶.論數學素養的內涵及特征[J].數學通報，2015（3）：8-11，43.

[2]張奠宙，李仕锜，李俊.數學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003：54.

[3]何小亞.學生“數學素養”指標的理論分析[J].數學教育學報，2015（1）：13-20.