關注能力導向，反思立幾教學

姜志茂

【摘要】 立體幾何是高中數學教學的重點和難點之一，是高考必考內容，立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題.分值占比也相當大.對此，不管是學生還是一線數學教師，對立體幾何的學習和教學都非常重視，教師也通過多方面手段進行教學.對此我談談有關能力導向的立體幾何教學啟示.

一、關注識圖用圖與建系簡潔性的教學，提高空間想象能力

在空間幾何體中，正確認識線線、線面、面面的位置關系，包括平行、垂直、異面等，也包括線線、線面、面面之間的大小關系，如線段長度、夾角大小等，以及它們之間的比例關系.認識空間幾何體的底面、側面、截面圖形以及側面展開圖，區分三視圖與直觀圖，熟練掌握斜二測畫法等.

注意建系方法的選擇多樣性與簡潔性，也是反映立幾識圖與用圖能力的重要方面.比如，本題的多樣性主要體現在坐標原點的不同位置，最優的建系方式如圖所示，

依次為E→F→G→H→M→A→B→O.同時，解題的簡潔性還體現在正方形邊長AF長度的不同假設上，最優方式依次為AF=4→AF=2→AF=1，或者AF=4a→AF=2a→AF=a.

二、加強邏輯分析與推理證明的教學，提高推理論證能力

立體幾何的一大難點就是“思維證明”，主要原因在于：考生理性思維能力欠缺，思維品質如嚴密性、敏捷性、靈活性、發散性等較差，沒有相關的解題經驗，缺少可操作性的解題方法、策略及步驟等.心理因素，不少同學患有“證明恐懼癥”.

盡管新課標高考在邏輯證明方面的考查大大降低了要求及難度，只需對性質定理及應用給予證明.可是，學習幾何不可能回避“證明”，何況證明對于邏輯思維的訓練及發展有相當重要的作用.在學習到平行及垂直性質定理及證明的過程中，從作業反饋及學生建議來看，諸多學生對于證明習題無法入手;有些學生明晰思路，可無法用書面語言加以描述;有些學生書面語言欠缺規范，解題思路混亂等.

反思：數學知識具有系統及連續性，作為教師應該在新授課過程中，要隨時注意與舊知識的聯系，并有意識地復習前面的知識.譬如，在例題、習題的設置過程中，可以設置一些有層次性的題目，既照顧到舊知識，同時又為新知識的理解及掌握打下良好的基礎.

另外，如何突破“數學證明”的難關？通過上面的分析與思考，我們可以總結出以下方法：① 重在分析，讓學生學會分析;② 教師應該做好格式的示范及榜樣作用;③ 引導學生歸納常見證明策略、方法、步驟等;④ 遵循由易到難的原則，設置系列證明習題，強化訓練，讓學生積累相關的解題經驗;⑤ 當然，幾何中的三種語言規范使用是一切幾何學習的前提及保證.

事實上，本題證明面面垂直主要有兩種思路：

思路一：因為AF⊥DF，AF⊥EF，EF∩DF=F，

所以AF⊥平面EFDC，

又因為AF平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC.

思路二：先證二面角60°，再求線段長度，

AF=4，DF=2，DG= 3 ，

FG=1，GA= 17 ，AD= 20 ，

所以DG2+GA2=AD2，

所以DG⊥平面ABEF.

又因為DG平面EFDC，所以平面ABEF⊥平面EFDC.

本方法比較煩瑣，走了彎路.

三、關注立體幾何中向量方法的教學，包括數學概念與向量公式的對應性，以及向量坐標運算的準確性，提高數學運算能力

空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角，它減少了大量的綜合證明，重在對于圖形的把握，運用向量運算方法解決空間位置關系問題，更加注意數學與現實世界的聯系和應用.事實上，必修二中的“立體幾何初步”側重于定性研究，理科選修2-2立體幾何中的向量方法側重于定量研究.空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具.利用向量來解決立體幾何問題是高考的重點內容之一，要讓學生體會向量的思想方法，以及如何用向量來表示點、線、面及其位置關系.

立體幾何中的空間向量教學應當強調通法：① 向量法有別于傳統的純幾何方法，而是將幾何元素用向量表示，進行向量運算，再回歸到幾何問題.這種“三部曲”式的解決問題的過程，在數學中具有一般性.② 三部曲：空間向量表示幾何元素→利用向量運算研究幾何元素間的關系→把運算結果翻譯成相應的幾何意義.③ 向量運算時注意其幾何意義，聯系幾何問題（如三垂線定理及其逆定理等）加深對有關運算的認識.還要養成良好的解題習慣，正確進行數字的計算，式子的組合變形，還需要注意運算依據的合理性，關注計算公式與數學概念的對應性.注意準確理解數學中的概念、定義、公式、法則，避免出現類似cosθ=cos〈 n ， m 〉=?? n · m? | n |·| m |? =…的錯誤.

總之，從本次高考閱卷情況來看，學生對于立體幾何試題掌握不好的大致表現有三個：一是沒有建立立體感和空間概念;二是基礎知識不牢固，邏輯分析與推理證明不規范;三是空間向量的相關知識與運算能力不足.只要我們認真總結，對癥下藥，在平時的教學復習中加以針對性的規范訓練，我們一定能夠取得理想的教學效果.