一類矩陣的求秩法

田心

【摘要】 本文推導出兩個公式：對任意的正整數p，均有 ∑ p+1 k=0 （-1）k（k+m）pCkp+1=0，m=1，2，…，p+2，∑ p k=0 （-1）k· （k+m）pCkp=（-1）pp！，m=1，2，…，p+1，利用這兩個公式對（p+2）階矩陣 A =（aij）aij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+2作初等變換，用反證法證明行向量的極大線性無關組的個數為（p+1），從而求出矩陣 A 的秩為（p+1）.

【關鍵詞】 矩陣;秩;反證法;極大線性無關組

在“線性代數”的學習中，我們發現，當p>2時，用簡單的初等變換變成行階梯形矩陣或求最大子式不為零的方法求一類p+2階矩陣 A =（aij）aij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+2的秩是困難的.這里，p是正整數.我們將 A 具體地寫成

A =? 1p 2p … （p+1）p （p+2）p2p 3p … （p+2）p （p+3）p ? ?（p+1）p （p+2）p … （2p+1）p （2p+2）p（p+2）p （p+3）p … （2p+2）p （2p+3）p? .

怎樣通過研究 A 的元素的組成規律和特點推導出公式，簡化初等變換？怎樣求出 A 的行向量的極大線性無關組的個數？怎樣簡便地求出 A 的秩？這就是本文解決的主要問題.

一、主要公式

（一）公式1及其證明

1. 引理1 ?設p是任意正整數，當n>p時，

∑ n k=0 （-1）kkpCkn=0.

證明 ?用數學歸納法：

當p=1，n>1時，∑ n k=0 （-1）kkCkn=n∑ n k=1 （-1）kCk-1n-1= -n∑ n-1 j=0 （-1）jCjn-1=0.

假設當p=2，n>2時，當p=3，n>3時，…，當p=m，n>m時，等式均成立，再證當p=m+1，n>m+1時，等式也成立.

事實上，由歸納假設，注意運用二項式定理得

∑ n k=0 （-1）kkm+1Ckn=∑ n k=0 （-1）k[（k-1）+1]kmCkn

=∑ n k=2 （-1）kk（k-1）km-1Ckn+∑ n k=0 （-1）kkmCkn

=n（n-1）∑ n-2 j=0 （-1）j（j+2）m-1Cjn-2+0

=n（n-1）∑ n-2 j=0 （-1）jjm-1Cjn-2=0.

證畢.

由引理1并利用二項式定理易得，當n>p，m為正整數時，∑ n k=0 （-1）k（k+m）pCkn=0.

特別取n=p+1得公式1.

2. 公式1 ?設p為正整數，則

∑ p+1 k=0 （-1）k（k+m）pCkp+1=0，m=1，2，…，p+2.

（二）公式2及其證明

1. 引理2 ?對任意的正整數p，

∑ p k=0 （-1）kkpCkp=（-1）pp！.

證明 ?用數學歸納法：

當p=1時，等式顯然成立.

假設p=m時等式成立，再證p=m+1時等式也成立.事實上，由引理1，注意利用歸納假設和二項式定理得

∑ m+1 k=0 （-1）kkm+1Ckm+1=∑ m+1 k=0 （-1）k[（k-1）+1]kmCkm+1

=∑ m+1 k=0 （-1）kk（k-1）km-1Ckm+1+∑ m+1 k=0 （-1）kkmCkm+1

=（m+1）m∑ m+1 k=2 （-1）kkm-1Ck-2m-1+0

=（m+1）m∑ m-1 j=0 （-1）j（j+2）m-1Cjm-1

=（m+1）m∑ m-1 j=0 （-1）jjm-1Cjm-1

=（m+1）m（-1）m-1（m-1）！

=（-1）m-1（m+1）！

=（-1）m+1（m+1）！.

證畢.

由引理2并利用二項式定理，得公式2.

2. 公式2 ?設p為正整數，則

∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！，m=1，2，…，p+1.

二、證明定理

定理 ?設p是任意給定的正整數，p+2階矩陣 A =（aij）aij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+2的秩為p+1.

證明 ?我們先對矩陣 A 進行初等變換.從第一行到第p+2行分別乘C0p+1，-C1p+1，…，（-1）pCpp+1，（-1）p+1Cp+1p+1后，累加到第（p+2）行.對第一列到第（p+2）列也作同樣的變換，由公式1將 A 變為矩陣

1p 2p … pp （p+1）p 02p 3p … （p+1）p （p+2）p 0pp （p+1）p … （2p-1）p （2p）p 0（p+1）p （p+2）p … （2p）p （2p+1）p 00 0 … 0 0 0? ，

然后從第一行到第（p+1）行，分別乘C0p，-C1p，…，（-1）p-1Cp-1p，（-1）pCpp后累加到第（p+1）行.對第一列到第（p+1）列也作同樣的變換.若p是奇數，在第（p+1）行（列）上再乘-1，由公式2和∑ p k=0 （-1）kCkp=0得矩陣

1p 2p … pp p！ 02p 3p … （p+1）p p！ 0pp （p+1）p … （2p-1）p p！ 0p！ p！ … p！ 0 00 0 … 0 0 0 ??.

最后，用 1 p！ 乘第（p+1）行（列）得矩陣

1p 2p … pp 1 02p 3p … （p+1）p 1 0???? pp （p+1）p … （2p-1）p 1 01 1 … 1 0 00 0 … 0 0 0? ?. （2.1）

顯然， A 的（p+2）個行向量線性相關.茲證（p+1）個向量 α 1=（1p，2p，…，pp，1，0）， α 2=[2p，3p，…，（p+1）p，1，0]，…， α p=[pp，（p+1）p，…，（2p-1）p，1，0]， α p+1=（1，1，…，1，1，0）的向量組線性無關.

事實上，假設它們線性相關，即存在不全為零的（p+1）個數k1，k2，…，kp，kp+1使得

k1 α 1+k2 α 2+…+kp α p+kp+1 α p+1=0，

即 k11p+k22p+…+kppp+kp+1=0，k12p+k23p+…+kp（p+1）p+kp+1=0，…k1pp+k2（p+1）p+…+kp（2p-1）p+kp+1=0，k1+k2+…+kp+0=0.? （2.2）

將上面各式累加得k1 ∑ p j=1 jp+1 +k2 ∑ p+1 j=2 jp+1 +…+ kp ∑ 2p-1 j=p jp+1 +pkp+1=0運用（2.2）式中的k1+k2+…+kp=0得

k1∑ p j=1 jp+k2∑ p+1 j=2 jp+…+kp∑ 2p-1 j=p jp+pkp+1=0，

即k11p+（k1+k2）2p+（k1+k2+k3）3p+…+（k1+ k2+…+kp-1）（p-1）p+（k1+k2+…+kp）pp+（k2+k3+…+ kp）（p+1）p+（k3+k4+…+kp）（p+2）p+…+（kp-1+kp）（2p-2）p+kp（2p-1）p+kp（2p-p）=0，

注意到k1+k2+…+kp=0.

原式可化為k1[1p-（p+1）p]+（k1+k2）[2p-（p+2）p] +（k1+k2+k3）[3p-（p+3）p]+…+（k1+k2+…+ kp-2）[（p-2）p-（2p-2）p]+（k1+k2+…+kp-1）[（p-1）p-（2p-1）p]+kp+1（2p-p）=0，

整理得k11p+（k1+k2）2p+（k1+k2+k3）3p+…+（k1+k2+…+kp-2）（p-2）p+（k1+k2+…+kp-1）（p-1）p+2kp+1p=k1（p+1）p+（k1+k2）（p+2）p+（k1+k2+k3）（p+3）p+…+（k1+k2+…+kp-2）（2p-2）p+（k1+k2+…+kp-1）（2p-1）p+kp+1p，

從而有 k1=0，k1+k2=0，k1+k2+k3=0，…k1+k2+…+kp-2=0，k1+k2+…+kp-1=0，kp+1=0.

又已知k1+k2+…+kp=0，

∴k1=k2=…=kp=kp+1=0，與假設矛盾，從而向量組 α 1， α 2，…， α p， α p+1線性無關.而（2.1）式中的（p+2）個行向量顯然線性相關，所以（2.1）式行向量的極大線性無關組的個數為（p+1），即（2.1）式的行秩為（p+1），亦即（2.1）式的秩為（p+1），從而A的秩為（p+1）.

在定理的證明過程中，我們還得到.

推論1 ?設 A 的行向量分別為 β 1， β 2，…， β p+1， β p+2則C0p+1 β 1-C1p+1 β 2+…+（-1）pCpp+1 β p+1+（-1）p+1Cp+1p+1 β p+2=0，即 β 1， β 2，…， β p+1， β p+2中任一向量都可以由其他向量線性表示.

推論2 ?| A |=0.

三、結 語

本文的求秩法是通過反證法求矩陣的行秩來完成的.這種求秩法有時也很方便，特別是在使用傳統的求秩方法覺得很麻煩時，就要考慮使用這種方法.