二次函數在實際生活中的應用

摘 要：二次函數是數學教學中最重要的概念之一，它連接著初中、高中、大學這一條主線。利用二次函數解決實際生活中的問題時，可以運用數形結合思想、方程思想等對問題進行簡單化處理，將抽象問題具體化、形象化，在解答問題的時候更加得心應手。不僅提高了學生分析問題、解決問題的能力，而且將函數思想與現實生活緊密地聯系在一起，使學生對函數的學習更加感興趣。

關鍵詞：二次函數；應用；數形結合

引言

本文運用了數形結合等數學思想將二次函數問題與現實問題有效的結合起來，研究問題新穎、有特點，不僅提高了他們的學習興趣，而且加強了學生分析和解決問題的能力。使二次函數思想與現實生活緊密的結合在一起，而不是空談理論。

一、 二次函數在橋梁建筑中的應用

在我們在旅游的過程中，經常會見到一些石拱橋，這些橋的建造體現了古代人的智慧。石橋的斗拱大多數都運用了拋物線的形狀，其自然而然會用到有關二次函數的知識。如下例：

趙州橋的橋拱呈拋物線型，正常水位時拱橋下面水寬8米，水面到拱頂的距離為4米。

（1）如圖，求該圖形的函數解析式。

（2）在水深為1米時，此刻水位處于正常水位。現要求輪船通過時，與橋身無任何接觸。橋下水面的寬度不能寬于6米，求水深到達多少米時會影響輪船正常航行？

解：（1）設該拋物線的函數解析式為y=ax2，將A（-4，-4），C（4，-4）代進y=ax2中，解得

a=-14，則該函數解析式為y=-14x2

（2）設水深到達h米時會影響輪船正常航行

當x=3時，有y=-2.25，則h=4+1-2.25=2.75（米），所以水深到達2.75米的時候就會影響船只正常航行。

二、 二次函數在銷售定價中的應用

在產品銷售過程中產品單價影響產品銷量，從而影響著銷售利潤。要想獲得最大利潤，我們就必須要探索和解決產品的銷售定價和銷售量、成本等不同因素之間的關系。因此，我們需要運用二次函數的相關知識來解決此類問題。如下：

某商場銷售皮褲，每條皮褲的成本是50元。在試銷階段，經市場調查發現，當皮褲單價為70元時，每日的銷售量是300條；如果每條皮褲價格提高1元，則每日少出售10條皮褲。

（1）一天內，每條皮褲賣x（元），皮褲所得收益為y（元），求它們之間的函數關系式；

（2）要求皮褲每日的收益達到頂峰，求皮褲的銷售單價、最大利潤；

（3）每條皮褲收益不超過50元，每天的總成本不高于2000元。滿足以上兩個條件，求銷售該皮褲每天所獲得的最大利潤。

解：（1）y=（x-50）[300-10（x-70）]

=（x-50）（1000-10x）

=-10x2+1500x-50000

答：該函數的關系式為：y=-10x2+1500x-50000

（2）y=-10x2+1500x-50000

因為a=-10<0，所以拋物線開口向下，函數取得最大值

當x=75時，y最大=6250

答：皮褲的銷售單價是75元，最大利潤是6250元。

（3）因為該皮褲每天的總成本不高于2000元

所以50[300-10（x-70）]≤2000，解得x≥96

又因為每件的銷售價格不能高于100元，則96≤x≤100

因為對稱軸x=75，所以當x=96時，y有最大值，y最大=1840。

答：銷售該皮褲每天所獲得的最大利潤為1840元。

三、 二次函數在物理學中的應用

二次函數在物理運動學中有很多應用。比如自由落體、位移、直線加速運動、動能等。有時它雖不如物理方法來得簡單直觀，但一些對物理情景較難想象的同學利用二次函數解決問題未嘗不是一種有效的解決方法。例如：

將一個球以一定角度斜拋，它的運動軌跡呈拋物線。如圖，當球的水平分位移為20米時。此時，球達到最高，高度為10米。求：

（1）球運動路線的函數關系式和自變量的取值范圍；

（2）當球距離地面為6米時，球離拋物線的水平距離為多少？

解：（1）設函數的解析式為y=a（x-b）2+c（a≠0）

由題意得：b=20，c=10，則y=a（x-20）2+10

將（0，0）點代入上式，得：0=400a+10，解得a=-140

答：球運動路線的函數關系式為y=-140（x-20）2+10（0≤x≤40）

（2）當y=6時，得：-140（x-20）2+10=6，解得x1=20+410，x2=20-410

答：當球距離地面為6米時，球離拋物線的水平距離為x1=20+410米或x2=20-410米。

結語

在生活中，我們經常會遇到與二次函數有關的實際問題，想要利用二次函數去解決這些問題，關鍵法寶就是要熟練掌握二次函數的基本性質和特點，例如，掌握好二次函數中如何求最大值，最小值，可以幫助我們解決生活中關于求最優、最省的實際問題，而二次函數中定義域，值域等性質可以幫助我們確定問題中數據的取值范圍，讓我們能夠更精準地求解出問題的答案。二次函數的圖像特點，可以把實際問題的數量關系通過圖像的方式更直觀地呈現出來，數形結合，讓我們可以更清楚地看到數量之間的關系，從而幫助我們更快速，更準確地求解出問題的答案。本研究主要采用的是變量學說，主要運用的數學思想是數形結合思想。相比于方程思想，數形結合思想應用更廣泛，研究的問題比較新穎，可以把抽象的函數問題具體化、形象化，將函數思想真正的運用到實際生活中去。學生在解答此類函數問題的時候更加運用自如。不僅僅提高了學生分析問題、解決問題的能力，而且讓學生對函數的學習更加感興趣。

作者簡介：周曉鳳，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。