核心素養巧引領，邏輯推理妙應用
——例談實際應用問題中的邏輯推理

☉浙江省麗水中學 周杰華

邏輯推理作為高中數學的六大核心素養中的主要內容之一，備受各方關注，是數學學科教學與學習過程中必備的一項技能，邏輯推理是從一些理論事實、命題等角度出發，依據題目中已知的規則來推出其他相關命題或結論的基本素養．邏輯推理根據推理的方式可分為歸納或類比（從特殊到一般的推理）與演繹（從一般到特殊的推理）．下面對近幾年高考中比較常見的以實際生活為背景的邏輯推理問題加以剖析．

一、信息推理

例1A，B，C，D四位同學一起去向英語老師詢問英語競賽的成績情況．英語老師說：“你們四人的競賽成績中有2位優秀，2位良好，我現在給A看B，C的成績，給B看C的成績，給D看A的成績．”看后A對大伙說：“我還是不知道我的成績．”根據以上相關信息，則（ ）.

A．B可以知道四人的成績

B．D可以知道四人的成績

C．B，D可以知道對方的成績

D．B，D可以知道自己的成績

分析：依據題目中的已知條件，抓住題設的關鍵可得到：A看了B、C的成績后而不知道自己的成績，由此可以推斷：B，C（或A，D）的成績均是1位優秀、1位良好，從而再結合其他相關信息：B看了C的成績，D看了A的成績，進而加以邏輯推理，得以確定判斷．

解析：抓住關鍵信息可知：A看了B、C的成績后而不知道自己的成績，由此可以推理：B，C（或A，D）的成績為1位優秀、1位良好；又根據條件中B看了C的成績，進而推理可得：B可以知道自己的成績.

同理，D看了A的成績，從而可以推理：D可以知道自己的成績.

故選D．

點評：本題通過對實際問題中的信息處理，結合情景推理來解決實際應用中的邏輯推理問題，主要考查邏輯推理的數學核心素養．特別地，在結合實際應用中的相關信息推理問題時，關鍵是要抓住問題中的相關信息要點，加以合理轉化，形成相應的數學語言、數學模型等，進而利用相關的數學知識來分析、處理、判斷，并加以正確的邏輯推理，使得實際應用問題得到巧妙解答．

二、圖表推理

例2（2016·北京文·14）某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品共有3種，后兩天都售出的商品共有4種.則該網店

①第一天售出但第二天未售出的商品共有______種；

②這三天售出的商品最少有______種.

分析：借助集合中的圖表信息，并利用題目中相關的實際生活問題的數據信息，轉化為求集合中的元素個數的問題，借助集合的運算與關系，以及實際情況來進行推理與分析，達到邏輯推理與應用的目的．

解析：通過作圖分析，如圖所示，A，B，C分別表示第一天，第二天，第三天售出的商品種數所構成的集合.

（1）由于前兩天都售出的商品共有3種，那么第一天售出但第二天未售出的商品共有19-3=16種.

（2）要使得這三天售出的商品最少，應該使這三天都售出的商品盡可能地多，結合條件可知有3種（由于A與B的公共部分為3，B與C的公共部分為4，只能取3）；同時，第一天與第三天都售出的商品盡可能的多，結合條件可知可以為17種（C中與B沒有公共的部分有18-4=14，A中與B沒有公共的部分有19-3=16，則取14，同時加上這三天都售出的商品3件，共有14+3=17），這樣這三天都售出的商品最少，最少為19+（13-3）=29種.

故填答案：①16；②29．

點評：在實際生活中應用邏輯推理時，經常借助集合的Venn圖、數軸以及統計的圖表、樹狀圖、表格等相應的圖表直觀信息來轉化，把題目中的實際生活問題借助數學模型進行直觀轉化與處理，結合實際情況加以合理分析，再通過反饋來解決實際應用問題．

三、數字推理

例3三張不透明的卡片上分別寫有數字1和2，1和3，2和3．A，B，C三人分別從中取出一張卡片，A看了B的卡片后說到：“我與B的卡片上相同的數字不是2.”B看了C的卡片后說到：“我與C的卡片上相同的數字不是1.”C說到：“我的卡片上的數字之和不是5.”由此可以判斷A的卡片上的數字是______．

分析：從C說的內容入手來分析C的卡片上的數字的可能性，結合B說的內容即可判定B的卡片上的數字，再結合A說的內容即可準確推理與分析出A的卡片上的數字．

解析：根據題目中C說的“我的卡片上的數字之和不是5”可知，C的卡片上的數字不是寫有2和3，那么C的卡片上數字可能是：1和2，1和3.

由B說的“我與C的卡片上相同的數字不是1”可知，B的卡片上的數字是2和3.

再由A說的“我與B的卡片上相同的數字不是2”可知，A的卡片上的數字是1和3.

故填答案：1和3．

點評：通過對題目中的數字的推理，結合數字之間的關聯來解決實際生活中的應用問題，往往是數學中邏輯推理最常見的類型之一，通過數字之間的聯系、運算等加以巧妙地設置問題，利用數學知識的推理、運算、分析來化歸與轉化，進而達到用正確地邏輯推理來解決實際問題的目的．

四、綜合推理

例4某無人機興趣小組由若干名教師和學生組成，根據該興趣小組中的人員分析可知：

（ⅰ）女學生的人數少于男學生的人數；

（ⅱ）教師的人數少于女學生的人數；

（ⅲ）教師的人數的兩倍多于男學生的人數．

①若教師的人數為4，那么女學生的人數的最大值是______．

②該學習興趣小組人數的最小值是______．

分析：先設出相應的男學生人數為x，女學生人數為y，教師人數為z，結合題中的已知條件建立不等式以及相關參數的取值范圍，結合z=4，利用自然數的性質來確定女學生人數的最大值；結合題目條件得到2z-z≥3，并結合條件確定z的最小值，再利用自然數的性質與不等式的關系來確定此時x，y的值，進而確定該小組人數的最小值．

解析：設男學生人數為x，女學生人數為y，教師人數為z.

根據題目中的三個已知條件可得：2z＞x＞y＞z，且x，y，z∈N*.

（1）由于z=4，則有8＞x＞y＞4，要使得女學生人數最大，即y取得最大值，只能是x=7，y=6，此時ymax=6；

（2）由于2z＞x＞y＞z，且x，y，z∈N*，那么必有2z-z≥3，解得z≥3，要使得該小組人數最小，則z取最小值zmin=3，此時有6＞x＞y＞3，可得x=5，y=4，此時x+y+z=5+4+3=12.

因此該興趣小組人數的最小值為12人.

故填：①6；②12．

點評：通過實際生活問題的相關信息建立相應的數學模型，結合題目信息與數學知識之間的聯系加以邏輯推理，可以轉化為相應的函數關系式、不等式（組）、方程以及其他相關的數學問題，再利用對應的數學模型來解決，同時要注意到數學知識與實際生活問題之間的關聯與差異．總之，在綜合推理過程中，要注意綜合信息、數字、模型等諸多條件的限制，通過綜合與處理，進而達到合理應用邏輯推理來正確解題的目的．

其實，邏輯推理作為一種重要的數學核心素養，是學生在實際的數學學習過程中形成的一種重要的思維方式和推理方法，并能有效地用來解決數學的相關問題，特別在解決高考數學題時，邏輯推理起著越來越重要的作用，在選擇題、填空題中往往發揮著奇特功效，可以大大提高解題速度，綜合提升數學解題能力．邏輯推理在我們的終生學習中更具有特殊的功能，其貴在提出和論證相關的數學命題，在掌握邏輯推理的基本形式的基礎上，理解事物之間的關聯，掌握知識結構，同時形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力．H