不同版本數學教科書習題設計比較研究*
——以“幾何概型”一節中的習題為例

☉西北師范大學教育學院 張定強

☉甘肅省蘭州市第二中學 牛睿芳

☉廈門雙十中學海滄附屬學校 馬 賀

一、引言

數學教科書的一個重要組成部分是習題，承載著夯實和深化新知、擴充與拓展新知、綜合應用知識、領會數學思想方法、診斷學情與反饋補救等方面的育人功能.數學習題是數學教學實踐活動過程中不可或缺的組織形式，對學生的數學學業來說，研究教科書習題、課堂教學等是直接的、具體的、極有參考價值的.不同版本的數學教科書在習題數量、水平、特點及側重點上存在差異，它們從不同角度反映了作者的編寫意圖、特點和傾向，了解不同版本教科書習題的異同有利于在教學實踐中取長補短，優化學生的數學思維品質，提高學生的數學關鍵能力.由此可見，數學習題對數學教學有著不可忽視的影響.

統計與概率是高中數學學習的內容之一，本文選取概率中的“幾何概型”習題（含練習題）為研究對象，分別從習題數量、類型及難度三個維度對其進行比較研究，以求探析其特點，發揮其數學教育教學的價值.

二、研究設計

（一）研究對象及方法

研究共選取5版教科書“幾何概型”中的習題進行比較分析，這5版教科書分別是人民教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書·數學》A版和B版（簡稱“人教A版”與“人教B版”），北京師范大學出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（簡稱“北師大版”），江蘇教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（簡稱“蘇教版”），以及湖南教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（簡稱“湘教版”）.采取定量刻畫與定性描述相結合的方法對其習題進行比較研究.

（二）研究內容

1.習題數量.統計各版本教科書在“幾何概型”一節中習題數量有多少，其統計標準為：若題目中有多次提問，則按一題計；大題中若有若干小題，則按小題記.

2.習題類型.習題類型主要有客觀題和主觀題兩大類.5版教科書習題中客觀題是指選擇題，而主觀題包括計算題、閱讀題以及解答題，凡是不能明確判斷為前兩種的均歸為解答題.

3.習題難度.主要借助于曹一鳴和吳立寶建構的例習題難度模型，從要求水平（YQ）、知識點含量（ZS）、背景水平（BJ）三個維度進行分析，具體難度水平見表1.

表1 習題難度水平劃分

習題難度的計算公式用如下的①、②、③、④表示.

習題的平均要求水平（YQ）的計算方法如下：

其中 “模仿（或理解、或運用、或探究）”的

習題 的計算方法如下：

其中A（或B、或C、或D）為“含1個（或2個、或3個、或3個以上）”的習題數目.

習題的背景水平（BJ）的計算方法如下：

其中A（或B、或C、或D）為“無背景（或個人生活背景、或公共常識背景、或科學背景）”的習題數目，所謂“無背景”是指純粹的數學問題.

對于整部分習題的難度（N）的計算，用如下公式：

這里的α，β，γ分別是要求水平、知識點含量和背景水平的權重，其值分別為0.38，0.36，0.26（α，β，γ分別是由層次分析法得出的）.

三、研究結果及分析

按照設計進行梳理與統計分析，其結果如下：

（一）習題數量基本持平

5版教科書中的習題各有特色，數量方面如表2所示.

教科書版本 練習題 習題 總計 習題中設置小問的題目數無小問 1-3小問 3小問以上人教A版 2 4 6 2 2 2人教B版 0 6 6 6 0 0北師大版 2 5 7 5 2 0蘇教版 5 6 11 10 1 0湘教版 1 6 7 1 3 3

從總量上看，蘇教版在“幾何概型”一節的習題設置是最多的，而其他4版教科書在習題總量上基本持平，但不同的是人教A版與湘教版傾向于在同一題設背景下分小問來設置題目，內容上層層遞進，對于基礎知識的鞏固很到位.從習題設置的總量上看，人教A、B兩版雖然題數一樣，但人教B版不設小問，且題目中以“隨機模擬實驗”為主，將實踐與數學結果作對比，來考察學生所得的結論，題目的開放性較強.

（二）習題類型分布均勻，計算與解答題居多

習題類型的統計見表3.

表3 5版教科書“幾何概型”一節的習題類型統計表

從表中數據可知，并沒有任何一版教科書是全部涉及到四種習題類型的，各版教科書的習題類型分布差異不大、比較單一，這與平時考試題目類型的契合度不高，僅人教A版設計了選擇題，蘇教版設置了一道閱讀題，其余主要集中在計算題與解答題上.

（三）習題難度差異不大，背景多樣性有待提高

按照難度測量模型，分別在要求水平、知識點含量和背景水平三個方面進行統計，得到如下結果，見表4.

表4 5版教科書“幾何概型”一節習題的三個維度考查的統計表

首先，由表4可知，5版教科書的習題設置對學生在“模仿”、“理解”方面的能力要求都很高，人教B版對學生的綜合分析能力要求相對較高，注重推理的綜合化，在學生的理解中用比較法來發現數學結果與實驗數據的統一；蘇教版處理習題更加注重層次化，其習題的設置梯度明顯，設有“練習”“感受·理解”“思考·運用”“探究·拓展”等欄目，內容難度節節上升，過渡平穩；人教A版、北師大版及湘教版均重視知識鞏固過程中的碎片化，即將一個綜合問題分解成若干小問題，由統一的大前提來輻射出小問題，加深學生的理解與印象，其意圖在于步步推進，引導學生獨立思考，進而解決問題.總體上，各版教科書在題目的設計結構上有共同之處，即習題與例題的契合度比較高，參照例題結構，深化和鞏固新概念，其設置思路充分體現了例題的示范功能，減少了學生初學新知識的認知負荷，進而有利于鞏固思維的深刻性.

其次，在背景因素水平方面，5版教科書均有涉及背景知識，但其分布程度各有不同，每版以“個人生活”為背景的占比均很高，習題設計貼近于生活，包含了諸多生活中的場景，呈現方式也很豐富.相對來說，人教版的兩版習題的背景比較單一，集中表現在與例題相同的“轉盤”與“隨機模擬撒點實驗”上，背景的創新點不足；蘇教版教科書的習題背景最為豐富，雖然純數學背景（即無背景）的題目占到45%，但其他題目背景均涉及“個人生活”、“公共常識”和“科學背景”；5版教科書在“科學背景”方面的習題很少.所以，在教科書習題的設計過程中，應該緊密聯系實際背景，重視培養學生建立數學與現實聯系的能力，從而更有力量地去解決變化世界中的問題.讓學生感受數學知識在生活中的應用，并學到有用的知識.

最后，習題的設置要注重問題的引導和生活化，題目的起點較低，給學生充足的空間去模仿領會做題的思路.按照教科書數據的統計，對難度測算的結果見表5.

教材版本 要求水平 知識點含量 背景水平 難度值人教A版 1.83 1.83 2.5 2.01人教B版 2.33 2.17 1.5 2.07北師大版 1.86 2.57 2.14 1.67蘇教版 2 1.64 2 1.87湘教版 1.86 2.43 1.57 1.99

從表5可知，在要求水平方面，人教B版與蘇教版比較高；在知識點含量方面，人教B版、北師大版、湘教版均很高，其考查范圍較廣，需要學生調用儲存于大腦中的長時記憶來解決問題，雖然有些知識點比較簡單，比如一個面積計算公式，但如果被遺忘也會影響做題效果，故這三版教科書注重對以往知識點的鞏固，且以此為基礎完善新知識的鞏固.知識點含量的不同，說明各版教科書設置習題的側重點不同，對于學生的知識儲備容量的考慮有所差異；表中還可以看到人教A版的背景水平比較高，但需要說明的是其背景內容單一，這一方面做的較好的是蘇教版，結合背景，沿著模仿、理解、運用、探究每一級來設置習題，符合思維發展的遞進原則，不同文化背景下思維的著力點有所不同，學生學習產生的效果也會因此有所不同.

通過④式計算得到5版教科書“幾何概型”習題的整體難度，發現人教版難度最大，這與習題表述簡練，陳述性語言較少有很大關系；整體來看，各版教科書難度差異并不是特別大.

四、研究結論及反思

經過分析比較，得出了如下一些結論，這些結論有利于科學建構習題并發揮其功能.

（一）提高題型豐富性，促進數學學習能力發展水平

基于5版教科書的習題題型的分析，能夠清晰地看到，其類型主要是計算與解答題，僅人教A版設置了選擇題，蘇教版設計了閱讀題，其余教科書均只有兩種題型，這與數學思維發展的要求并不相符，如果教科書中僅有單一的題型，那么學生就會形成定式思維，所以，在教科書習題設置中要突破題型單一的局面，不斷增加諸如辨析題、說理題、拓展題等題型，以此促進學生學習的積極性與主動性，讓學生的數學思維不斷舒展，學習能力不斷提升.

（二）習題背景多樣化，增強數學與其他領域融合度

數學學習的主要目的是幫助學生在應對復雜世界的挑戰時，會用數學的眼光、思維、語言來分析、思考數學與現實的聯系，進而有效地去解決現實問題.為此，需要加強數學習題背景的多樣化，依據生活情景、公共常識，以及科學背景來設計習題，用貼近實際生活的數據拉近數學與生活的距離，“幾何概型”一節主要展現的是應用型知識，應該用多樣化的背景，結合各個領域的現實來表征知識的實用性，激發學生的學習興趣.

（三）習題注重分層設計，體現難度的梯度性

各版教科書中所提供的習題雖然在知識考查上比較全面，但仍以鞏固基礎知識為主，題目較為簡單，有很大的提升空間.教科書習題應當有明顯的層級關系，僅蘇教版梯度體現的較為明顯，人教A版、B版有A、B組的分類，其習題設計的思路是“以基礎誘發思考，然后應用鞏固，加深理解，最后一般是對其新學知識的拓展延伸，這對學生要求比較高”.事實上，習題設計中的分層設計有利于引導學生明晰思路，逐步突破，也有利于不同層次的學生完成不同水平的習題任務，盤活學習的動機與資源，為教師在教學中恰當地設計與處理不同的習題類型提供一條有效路徑，但現階段各版教科書習題的難度差異并不大，因此需要有梯度性的設計，才能有目的地激活學生的思維，從而培養學生的獨立思考能力和探索精神.

五、結束語

習題是學生課后鞏固知識，提升學習品質的重要途徑之一，習題的設置應該以學生的認知為出發點，過多或不足均不利于學習任務的完成，因此，要高度重視習題的設計，深入思考不同內容背后習題設置的類型、背景、難度等問題，科學合理地論證習題設計的意境、題量、表述，基于學生數學核心素養發展的視角來探索習題系統.通過對內容的學習、思考與習題的解決達到提升學生數學核心素養的目的.