發展高中生數學高階思維的幾點思考

☉重慶市江津中學校 蘭 勇

很多教師往往會將大量的習題訓練當作數學高效學習的重要途徑，但實際上，問題解決過程中的思維才是數學高效教學必須重點關注的，高效的思維方式才是教師在課堂教學中應該始終關注的.

一、注重思維的深刻性

就題解題只是學生在認識問題的初級階段的思維變現，學生對問題形成深刻的理解才是教師高效教學應該追求的，學生對問題的理解能夠達到由此及彼、由表及里直至去粗取精、去偽存真的境界才能說明學生對問題真正理解了.

例1將函數的圖像向左平移φ個單位，所得的圖像對應的函數為偶函數，則φ的最小正值是______.

分析：將函數的圖像向左平移φ個單位，得求φ的最小正值.

方法1：偶函數的對稱軸為x=0，即y軸，把x=0代入得或2，則或-1，故，所以φ的最小正值為

方法2：由題意為偶函數，故有恒等 式化 簡 得.因為sinx不恒為0，因此0，故，以下同上.

方法3：直接作函數的圖像，如圖1，觀察圖像可知，將圖像向左平移個單位長度即可.

圖1

問題圓滿解決，那么此題是否還有更值得思考的地方呢？函數圖像的上下移動其實就是函數值的改變，圖像的形狀、單調區間等并沒有發生變化，所以，將函數y=視為考查對象就可以了.

二、注重思維的簡潔性

透過復雜的現象進行本質的把握能令解題者更好地抓住主要矛盾并做到思維上的刪繁就簡.

例2函數f（x）=|x2-4|+x2+kx（x∈R）的單調減區間為（-∞，-2），則k的取值范圍為______.

分析：有的學生往往受導數處理函數單調性的思維定勢的影響會聯想到用導數來解決本題，那么解決此題必須這樣嗎？首先，去絕對值符號可得

所得分段函數由一次函數與二次函數組成，那么，此處要用導數知識來解決嗎？

其次，“函數f（x）的單調減區間為（-∞，-2）”這一條件又應該怎樣理解呢？將題目理解為如下意思是否可以：已知（-∞，-2）為函數f（x）=|x2-4|+x2+kx（x∈R）的單調區間，k的取值范圍如何？答案是否定的，原題想表達的是（-∞，-2）為函數f（x）的單調減區間，且函數f（x）只在這一區間上為單調減函數.結合函數圖像可知，對稱軸在［-2，2］之間，于是且k＞0，解得0＜

突破“復雜”的重圍并讓思維變得簡潔是思維的高級階段，“簡單”與“復雜”的對比往往更具有價值.

三、注重思維的嚴謹性

思維的嚴謹性表現在學生對知識的“知其所以然”上.

例3已知函數若對于任意的x1∈R均存在x2∈R，并令g（x2）=f（x1），則實數a的取值范圍為______.

分析：g（x）=sin4x-cos4x=-cos2x∈［-1，1］.由條件易知函數f（x）的值域應為函數g（x）值域的子集.f（x）的定義域為R，因此接下來應求函數f（x）的值域.

思路1：對x進行分類討論.

當x=0或a=0時，f（x）=0.

當x＞0時

若a＞0，則

若a＜0，則

當x＜0時

若a＞0，則

若a＜0，則

思路2：運用導數知識.

這兩種思路相對于這樣一道中等水平的填空題來說較費筆墨.觀察函數f（x）解析式的結構特點并聯想基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）的加強形式a2+b2≥2|a||b|（a，b∈R），可以這樣求解函數f（x）的值域：

若a=0或x=0，則f（x）=0，符合題意；

當a≠0且x≠0時

顯而易見，此種思路更加簡潔而高效.由此可見，思維變得嚴謹不僅能對自己解題中的思維過程進行充分的認識，還能使解題者根據問題的要求及時調整思維的方向與解題的手段，當然，解題者的主動反饋是這一過程中必不可少的.

四、注重思維的敏捷性

不被情景性的暗示所左右、不迷信權威并敢于向權威提出質疑是思維敏捷性、獨立性的表現.數學思維的敏捷性更多地表現在運算環節與推理過程的縮減上，與概括性緊密關聯的敏捷性又在概括與推理的“立即”上有所展現.

跳出一般的解題框架并結合問題的條件、結論、背景提出自己獨創的見解是解題者思維敏捷性的表現，一般來說，想象力豐富的學生往往更容易獲得獨創性的解法.

例4已知函數，則以下結論不正確的是______.

（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；

（2）?m∈（0，1），使方程|f（x）|=m有兩個不等實根；

（3）?x1，x2∈R，若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；

（4）?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點.

分析：很多題目中往往具有看似比較簡單的情境，解題者往往也會因為情境的簡單而誤以為這是一道簡單題，思維與解法往往也就因此誤入歧途了.對于命題（1），似乎只要聯想奇偶性的定義就可以順利解決，那么從數的角度進行推理論證是否也可以解決下面的命題呢？

顯然不行.對下面三個命題進行仔細觀察不難發現，利用圖像判斷的意味還是相當明顯的，因此，若將函數的圖像作出就可以順利解決問題了，如圖2所示.

總之，高中數學教師可以借助問題來指導學生，使學生的思維能夠在由此及彼、由表及里的思考中變得更為深刻，在刪繁就簡、把握本質的解題中變得更為簡潔，在知其所以然的探索中變得更為嚴謹，在觸類旁通的推理與論證中變得更為敏捷，只有令學生的思維方式變得更加靈活才能保障數學學習的高效性.W