平面向量與三角函數的交匯與融合

鄭澤芹

【摘要】平面向量與三角函數的綜合題在各類考試中經常能遇到，作為近年來高考熱點題型需要學生重點掌握.想要高效準確地解決平面向量與三角函數的綜合題，一方面，要全面、系統地了解三角函數和平面向量的知識，另外一方面，也要對常見題型和解題方法有很好的認識.本文主要對平面向量與三角函數的交匯與融合及解題思想方法進行探究.

【關鍵詞】平面向量;三角函數;綜合題;解題方法

平面向量將數、形結合在一起，是中學數學學科知識交匯和聯系多項內容的媒介.平面向量與三角函數的交匯和融合使三角問題富于變化，在平面向量與三角函數的交匯融合之中，平面向量既可以表現為一種“包裝”形式，又可以表現出一定的工具性，不僅能很好地體現平面向量與三角函數的內在聯系與相互轉化關系，還可以體現平面向量的工具作用與三角變化的靈活性.

一、平面向量與三角函數的交匯融合

（一）平面向量與三角函數的聯系

平面向量是數學學科中的重要概念與工具，與代數、幾何均有十分密切的聯系，并逐漸成為高中階段數學學科知識網絡中的一個交匯點.三角函數是基礎初等函數，在高中數學學科中尤為重要，三角函數的定義、性質具有顯著的特征及規律性，與代數和幾何的聯系也尤為緊密.故平面向量和三角函數綜合題備受高考命題者青睞，是高考命題的熱點.在平面向量與三角函數的交匯處設計試題千變萬化、層出不窮，此類問題經常以解答題形式出現，考查知識點涉及平面向量平行、垂直、數量積等.在此類問題中向量多作為知識背景或載體形式出現，考查重點實際為三角函數，重點在于考查向量的工具作用.處理這類問題時需要利用向量知識將題目轉化成三角函數進行求解，如何將平面向量知識背景轉化成三角函數關系式，如何用平面向量來解決三角函數的問題，這些都是解題的關鍵.

（二）平面向量與三角函數中的數學思想方法

數學思想方法是解決三角函數與平面向量問題的指南，化歸思想、函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想等在解決平面向量與三角函數的交匯融合問題中至關重要.（1）化歸思想.化歸思想在三角函數中的應用主要體現在化多角為單角、化未知角為已知角、化高次為低次、化特殊為一般、化多種函數名稱為一種函數名稱.在平面向量中的應用中主要體現在化三角函數問題為平面向量問題，以平面向量知識去解決問題.（2）函數方程思想.函數方程思想是用函數、方程的方法處理變量與未知數之間的聯系，從而解決問題.（3）分類討論思想.分類討論思想在平面向量中的廣泛應用，具體體現在科學分類、不重復、不漏掉地解決向量問題.因三角函數值或性質只能在一定象限范圍內應用，當在一個更廣的范圍內求解問題時需要對角所在的不同象限將問題一一解決.（4）數形結合思想.利用三角公式證明三角函數幾何性質，是“以數助形”方法;利用單位圓的三角函數線、三角函數圖像求解三角問題，是“以形助數”方法;利用單位圓研究三角函數幾何意義表示三角函數的三角函數線即平面向量.

這是一道將向量作為基礎的三角函數邊長求解問題，解題關鍵在于根據向量知識對三角形邊長進行求解.對這類問題的解題指導，首先需要對三角函數邊長與角的關系、邊角關系、直角三角形三邊關系等建立知識框架，保證學生可以掌握三角函數求邊長的問題.本題解題時需要先對三角形形狀進行判斷，明確題目中的限制條件，找出存在的相關關系，結合平面向量、三角函數等內容，求解最終結果.

三、結束語

平面向量與三角函數的交匯及融合是高考考查的重點和熱點問題，這類題型多數是以三角函數問題為背景的向量描述，需根據向量運算性質將向量問題轉變為三角知識進行解題，三角函數才是考查的主體.平面向量與三角函數的綜合題考查的要求通常不高，在解題時需要首先考慮向量的工具性及其作用，靈活運用平面向量和三角函數的性質進行解題.

【參考文獻】

[1]余文泰.數學三角函數解題常見誤區探討[J].現代商貿工業，2016（33）：332-333.

[2]石芮嘉.高中生學習三角函數的困難與解決對策[J].教育觀察（下半月），2016（10）：92+98.