基于數學核心素養下的課堂教學研究

摘 要：前不久，本人參加了由天津市數學會和河北省數學會聯合組織的“津冀”中高級教師優質課比賽，并獲得一等獎，我授課的課題是《向量加法運算及其幾何意義》，對于本次比賽，我收獲頗豐，主要是對于數學學科核心素養有了更加深入的理解，下面是本人對于數學核心素養下的課堂教學的一點點想法，不妥之處歡迎大家批評指正。

關鍵詞：核心素養;興趣;引導

首先談一下數學核心素養的內容，主要是包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體。它們各自具有鮮明的特征、獨有的內活，以及清晰、特指的價值取向;同時，它們組成一個有機整體，相互交融，體現在學生學習數學和運用數學解決問題的過程中，呈現出整合性和綜合性的特點。

這節課的標題是《向量的加法及其幾何運算》，這節課是學生在認識向量概念之后首先要掌握的運算，是向量的第二節內容。其主要內容是運用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，并對向量加法的交換律、結合律進行證明，同時運用他們進行相關計算，這可讓同學們進一步加強對向量幾何意義的理解，同時也為接下來學習向量的減法奠定基礎，起到承上啟下的重要作用。本節課通過任務驅動，將向量加法運算及其幾何意義主要知識內容劃分成幾個主要任務，通過教師與學生合作探究的方式，完成任務，獲取知識，得到啟發，從而培養學生的數學抽象和數學建模等數學核心素養。任務一：根據引例1，2內容和已有知識，作出兩個已知向量的和向量，其中包括兩個探究問題：（1）不共線向量和向量作法;（2）共線向量和向量作法。任務二：研究和向量的模與兩向量模和與差的關系，也是在兩向量共線和不共線不同情況下進行分析，得出結論。任務三：探究得出向量加法的交換律與結合律，這個環節通過兩幅圖讓學生進行觀察，教師引導，得出運算律。任務四：使學生體會建模思想，從實際問題抽象出數學模型，加以解決的過程。采取的是教師學生合作探究的方式。任務五：小結的內容從教學中涉及的數學問題、數學方法和思想、數學核心素養等方面進行，學生回答教師點撥的方式，啟發培養學生歸納問題的能力。

在這節課中，通過任務驅動，將向量加法運算及其幾何意義主要知識內容劃分成幾個主要任務，通過教師與學生合作探究的方式，完成任務，獲取知識，得到啟發，從而培養學生的數學抽象和數學建模等數學核心素養。任務一是根據引例1，2內容和已有知識，作出兩個已知向量的和向量，其中包括兩個探究問題：（1）不共線向量和向量作法;（2）共線向量和向量作法。任務二是研究和向量的模與兩向量模和與差的關系，也是在兩向量共線和不共線不同情況下進行分析，得出結論。任務三是探究得出向量加法的交換律與結合律，這個環節通過兩幅圖讓學生進行觀察，教師引導，得出運算律。任務四是使學生體會建模思想，從實際問題抽象出數學模型，加以解決的過程。采取的是教師學生合作探究的方式。任務五是小結的內容從教學中涉及的數學問題、數學方法和思想、數學核心素養等方面進行，學生回答教師點撥的方式，啟發培養學生歸納問題的能力。

向量的加法是向量的第二節內容。其主要內容是運用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，并對向量加法的交換律、結合律進行證明，同時運用他們進行相關計算，這可讓同學們進一步加強對向量幾何意義的理解，同時也為接下來學習向量的減法奠定基礎，起到承上啟下的重要作用。

培養數學的應用意識是當今數學教育的主題，本節課的內容與實際問題聯系緊密，更應強化數學來源于實際又應用于實際的意識。在向量加法的概念中，由于涉及兩個向量有不平行和平行這兩種情況，因此有利于滲透分類討論的數學思想，而在猜測向量加法的運算律時，通過引導學生利用實數加法的運算律進行類比。則能培養學生類比、遷移等能力。在實際教學中，類比數的運算，向量也能夠進行運算。運算引入后，向量的工具作用才能得到充分發揮。實際上，引入一個新的量后，考查它的運算及運算律，是數學研究中的基本問題。教師應引導學生體會考查一個量的運算問題，最主要的是認清運算的定義及其運算律，這樣才能準確、方便地實施運算。

向量的加法運算是通過類比數的加法，以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引入的。這樣做使加法運算的學習建立在學生已有的認知基礎上，還需注意，進行向量運算時，不但要考慮大小問題，還要考慮方向問題，從而使學生體會向量運算與數的運算的聯系與區別。這樣做，有利于學生更好地把握向量加法的特點。

在這個環節，由數的運算類比到向量的運算，包括隨后的由數的加法運算律類比到向量的加法運算律，實際上都是培養了學生的邏輯推理的數學素養。

在上課剛一開始，我先拋出問題：同學們知道，實數可以進行運算，那么向量呢？是否也能夠進行運算？對于這個問題，學生在沒有接觸向量運算的情況下，不容易作出回答，接下來，我進一步引導：教材第二章扉頁：如果沒有運算，向量只是一個“路標”，因為有了運算，向量的力量無限。通過這句話，我們顯然可以看出，向量是可以進行運算的。既然如此，我們自然會想到這樣的問題：（1）向量是否也能進行運算？（2）用怎樣的符號表示呢？（3）如何理解向量的運算及其幾何意義？于是我給出了引例1：我們知道京津冀一體化這是重大的國家戰略，自從提出以來，三地公路建設事業迅猛發展，給北京、天津和河北三地生產、生活帶來了方便。現有一輛快遞運輸車從石家莊出發，先到北京，再到天津，問怎樣計算運輸車的位置？

學生回答的基礎上，抽象可得，先從A到B，再從B到C，那么運輸車的位移是位移AC。也就是位移AC是位移AB和BC的合成。這里構成了一個三角形，因為位移本身就是向量，所以這里的位移的合成其實就是向量的加法，也就是向量AC就叫做向量AB和BC的和。于是給出定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。注意記法跟實數加法中的加號是一致的。于是歸納定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。同時給出引例2：物理當中我們都做過這樣一個實驗，如果一根橡皮條在兩個力F1和F2的作用下，與在一個力F的作用下，伸長的長度相同，那么我們把力F叫做F1與F2的合力。當我們改變力F1和F2的大小和方向，力F重也會隨之改變。這時合力F與力F1、F2從方向和大小上有什么樣的關系？力F的方向在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形對角線上（以F1、F2共同的起點為起點），大小就等于平行四邊形的對角線長。因為力本身也是向量，所以這里的力的合成其實也可以看作向量的加法。也就是F=F1+F2。

在處理引例1和引例2的過程中，顯然能培養學生的數學抽象的素養，因為數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征。通過引例1中的路線圖和引例2中的力的合成圖，學生容易抽象出向量加法的概念的幾何意義，這對于數學抽象素養的培養顯然意義重大。

接下來進入到合作探究環節，從前面兩個例子可以看出，位移、力的合成都可以看成向量的加法，那么，對于任意給定的兩個向量a，b，我們能不能從上面兩個例子中得到啟發，用兩種方法作出a與b的和呢？我給出了三個探究問題：探究問題1是對于兩個非零不共線向量，求作兩個向量a與b的和。活動設計是獨立探究，然后小組合作學習，小組代表進行實物展示。學生大部分都會是把一個向量起點平移到另一個向量的起點，也可以是平移到平面上任意一點，要點是共起點。探究問題2是兩個非零共線向量求作下面兩個向量a與b的和。活動設計是獨立探究，然后小組合作學習，小組代表進行實物展示。然后師生歸納得出，共線時，既不能作三角形，也不能作平行四邊形，但是仍然可以用“首尾相接，起點指向終點”的方法得出。探究問題3是對于零向量與任一向量，能否用前面的方法求兩向量的和？活動設計是獨立思考后作答。后師生歸納：不能，所以需要補充規定。

然后給出任務二是探究并總結|a+b|與|a|+|b|，|a|-|b|的關系，體會向量加法與數的加法的區別與聯系，階段目標是通過對|a+b|與|a|+|b|，|a|-|b|的探究，體會向量加法與數的加法的區別與聯系以及利用數形結合得到結論的方法。活動設計是學生先獨立探究，再合作學習，小組代表回答。然后師生歸納得出關系式。

之后的任務是探究向量加法的運算律，并進行證明。通過學生細致觀察，發現并總結出向量加法的交換律和結合律，這仍然是培養了學生數學抽象的學科素養。

有了前面知識之后，給出了一道實際應用問題：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸。如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發，以23km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h。（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度;（2）求船實際航行的速度大小與方向。（用與江水速度間的夾角表示）

完成前幾個任務之后，本節的主干內容也就結束了，之后是小結提升環節，也就是任務五，這部分看似簡單，也是本節課中畫龍點睛之筆。

階段目標是通過對實際問題的解決，培養學生數學建模能力，學會將實際問題如何轉化為數學模型的方法。活動設計是學生獨立探究、小組討論、代表實物展示。

通過學生的合作學習，師生歸納出：1. 船速與船實際航行速度的區別;2. 實際應用問題中，由實際問題——數學模型，解決數學問題——實際問題的處理方法。在這個環節，其實培養的是學生數學建模的核心素養。

總之，在這節課中，對數學核心素養的滲透無處不在，主要培養了三大素養，即邏輯推理素養、數學抽象素養和數學建模思想，這些素養對于學生學習之后的向量減法運算打下了良好的基礎，也為后面的數量積的學習奠定了知識和能力的基礎。

作者簡介：

張海江，天津市，天津市南開中學濱海生態城學校。