分類討論思想在初中等腰三角形問(wèn)題中的應(yīng)用探究

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法是解題的靈魂，只有掌握良好的思想方法，才能夠提高數(shù)學(xué)解題的能力，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際的技能。基于此，本文主要分析分類討論思想方法應(yīng)用在初中等腰三角形問(wèn)題當(dāng)中的價(jià)值，探討具體的應(yīng)用對(duì)策，有計(jì)劃、有意識(shí)、有步驟地滲透分類討論思想。

關(guān)鍵詞：分類討論;數(shù)學(xué)思想方法;教學(xué)應(yīng)用

一、 分類討論思想在等腰三角形中應(yīng)用的價(jià)值

新課程改革要求我們創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，不僅要提高學(xué)生探索知識(shí)的邊界，更要學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，從實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，分類討論思想應(yīng)用在等腰三角形的教學(xué)當(dāng)中，具有以下幾方面的價(jià)值：

1. 可以幫助學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的差異點(diǎn)與共同點(diǎn)，采用適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有限的討論，通過(guò)逐漸分析、按步驟解決的方式，來(lái)提高數(shù)學(xué)計(jì)算的精準(zhǔn)程度。

2. 分類討論思想可以在三角形教學(xué)當(dāng)中，通過(guò)定理的推演求解，開(kāi)展系統(tǒng)的分析，達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏的實(shí)際效果，在一些問(wèn)題的解決當(dāng)中，還可以將繁雜的步驟簡(jiǎn)化，促進(jìn)學(xué)生用形象的知識(shí)理解抽象的概念，更好地形成數(shù)學(xué)運(yùn)用能力。

3. 分類討論思想是一個(gè)人思維條理性和概括性的重要基礎(chǔ)，通過(guò)三角形教學(xué)當(dāng)中分類討論思想的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)的思考能力，在原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，提高自己的總結(jié)能力，概括能力和分析能力。

4. 對(duì)于我們中學(xué)生來(lái)說(shuō)，分類討論問(wèn)題就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后再逐類進(jìn)行求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。有助于學(xué)生解題能力的提升，建立起對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

5. 分類討論思想往往被用在一些題目條件含有不確定因素，或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們往往將問(wèn)題劃分為若干類或若干個(gè)局部問(wèn)題來(lái)解決。這類問(wèn)題也是等腰三角形當(dāng)中的重點(diǎn)問(wèn)題和難點(diǎn)問(wèn)題，只有通過(guò)分類討論才能進(jìn)行知識(shí)的解答。

二、 分類討論思想在初中等腰三角形問(wèn)題中的應(yīng)用

（一） 步驟拆分

在解題的過(guò)程當(dāng)中，我們要將研究問(wèn)題當(dāng)中拆分出各個(gè)情況，制定一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)劃分成不同的小步驟，以不同的形式來(lái)解決這些問(wèn)題，最終將一個(gè)大問(wèn)題拆分成不同的小問(wèn)題，使得原始的大問(wèn)題可以得到正確的解答。這種拆解方式是分類討論的基礎(chǔ)和靈魂，在教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，教師要有意識(shí)地滲透分類討論的思想，不斷豐富課堂教學(xué)的形式，補(bǔ)充分類討論的內(nèi)容，采用靈活有效的教學(xué)手段，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行分類討論的思考，既要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，也要鼓勵(lì)學(xué)生在原有的知識(shí)基礎(chǔ)之上，進(jìn)行發(fā)散性思考。

【案例1】 在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C

解：在DC上截取DE=BD，連接AE， ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°

在△ABD和△AED中，AD=AD，∠ADB=∠ADE，DB=DE，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴AB=AE，∴∠B=∠AEB

又AB+BD=CD，DE=BD，∴AB+DE=CD，而CD=DE+EC

∴AB=EC

∴AE=EC，

故設(shè)∠EAC=∠C=x°，∠AEB為△AEC的外角

∴∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2x°，∴∠B=2x°

在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°

∴2x+120+x=180

解得：x=20，則∠C=20°。

在分類討論教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，要選擇合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，不能盲目地按照學(xué)生的喜好來(lái)進(jìn)行個(gè)人的分類，在解題的過(guò)程當(dāng)中，教師可以組織學(xué)生多練習(xí)經(jīng)典的類型，從而更好地避免少討論或多討論的現(xiàn)象，提高解題的效率，做到不重不漏、層次分析。這樣的教學(xué)方法實(shí)現(xiàn)需要一定的時(shí)間，但是教師要鼓勵(lì)學(xué)生在多次的訓(xùn)練當(dāng)中，不斷培養(yǎng)對(duì)于學(xué)習(xí)的自信心，了解到只有進(jìn)行多樣化的練習(xí)才能夠更好地掌握分類討論的思想。

（二） 進(jìn)行分類計(jì)算

在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，分類討論思想的應(yīng)用也與很多計(jì)算有關(guān)，很多學(xué)生由于思維能力的不足，在邏輯方面有一定的漏洞，無(wú)法掌握這種高效的數(shù)學(xué)思想方式，在實(shí)際討論的過(guò)程當(dāng)中，或者出現(xiàn)重復(fù)討論的現(xiàn)象，或者出現(xiàn)遺漏討論現(xiàn)象，這都無(wú)法達(dá)到良好的分類討論的效果。因而在教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中教師要對(duì)學(xué)生的討論結(jié)果進(jìn)行反思分析和指導(dǎo)，要求學(xué)生按照自己討論的結(jié)果與答案當(dāng)中進(jìn)行比對(duì)，了解到哪一個(gè)層次出現(xiàn)了漏洞，是進(jìn)行了哪些項(xiàng)目的探討？從而優(yōu)化解題的過(guò)程，學(xué)生可以將這種分類討論的結(jié)果記錄到自己的錯(cuò)題本當(dāng)中，從而對(duì)實(shí)際的討論情況進(jìn)行優(yōu)化分析。

【案例2】 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）。當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

本題目考察的知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的定義、勾股定理、無(wú)理方程的解法、一元二次方程根的判別式。在讀題時(shí)就要明白該類題需分析BP=QP，或BP=BQ，或QP=BQ三種情況。與該題類似的還有在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)固定，另一點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，求三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形有幾種情況。

在解答的過(guò)程當(dāng)中，重點(diǎn)就是對(duì)頂角的位置以及實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行解答，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分類討論P(yáng)、Q兩點(diǎn)的位置，設(shè)置以P為中心和以Q為中心兩個(gè)要點(diǎn)，從而獲得正確答案“要使以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則需有BP=QP，或BP=BQ，或QP=BQ。”教師要善于啟發(fā)學(xué)生的思維，始終以學(xué)生為教學(xué)的中心，了解學(xué)生的解題思路，分析學(xué)生在解題過(guò)程當(dāng)中遇到了哪些問(wèn)題，從而更好地對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。很多學(xué)生在實(shí)際解題過(guò)程當(dāng)中，缺乏反向思維，在已知三角形為等腰三角形的條件下，可以很好地進(jìn)行問(wèn)題的分析，但是給出相關(guān)條件之后，對(duì)于三角形是等腰三角形的判斷，缺乏足夠的思考，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從該三角形是等腰三角形和該三角形不是等腰三角形兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行討論，從而對(duì)已知條件進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)用。

（三） 設(shè)置分類討論問(wèn)題

除了解答題當(dāng)中，填空題、判斷題當(dāng)中也蘊(yùn)含著豐富的分類討論思想，很多教學(xué)題目都是組合化的，學(xué)生如果基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠牢固，就很容易誤判。例如，等腰三角形與矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、銳角的三角比、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)聯(lián)合在一起，就要求學(xué)生對(duì)于等腰三角形的定義深入理解，除此之外，涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的題目也常常運(yùn)用分類討論思想。

【案例3】

例如在題目3：△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA=EC，求證：EB⊥AB.的解答當(dāng)中，教師就要指導(dǎo)學(xué)生將等腰三角形定義的知識(shí)與三角形的銳角三角形判斷知識(shí)聯(lián)合在一起，進(jìn)行系統(tǒng)分析。在題目4：在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，邊BC上的高AD=12cm，求△ABC的面積。當(dāng)中，學(xué)生需要對(duì)等腰三角形的綜合判斷進(jìn)行分類。

布置不同類型的分類討論作業(yè)，可以幫助學(xué)生在實(shí)際解題的過(guò)程當(dāng)中積累分類討論的經(jīng)驗(yàn)，關(guān)于三角形圖形位置改變的情況進(jìn)行系統(tǒng)的討論，按照相關(guān)條件進(jìn)行幾何圖形的分析，對(duì)于所有符合條件的圖形進(jìn)行正確的解答。在這樣的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生可以根據(jù)不同題干的對(duì)比，掌握真正的分類討論思想，并且做到不重不漏。例如在題目4當(dāng)中，就可以通過(guò)內(nèi)部、外部?jī)煞N情況來(lái)進(jìn)行分類討論，從而正確的解答問(wèn)題。

（四） 開(kāi)展分類教學(xué)

在一個(gè)班級(jí)當(dāng)中學(xué)生的知識(shí)能力參差不齊，只有面向全體學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)性教育，才能夠避免學(xué)生負(fù)擔(dān)過(guò)重、壓力過(guò)大。開(kāi)展分層討論，可以在學(xué)生原有的基礎(chǔ)之上，不斷提高教學(xué)的實(shí)際質(zhì)量和效果：

第一，進(jìn)行分類討論教學(xué)過(guò)程中教師也要因材施教，根據(jù)學(xué)生的具體情況設(shè)置不同的分類教學(xué)目標(biāo)，采取不同的教學(xué)方法，按照整體進(jìn)行不重疊不遺漏的探討，對(duì)各個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分享解決，從問(wèn)題考查的角度、問(wèn)題解決的方式、問(wèn)題實(shí)際的答案設(shè)置良好的分類標(biāo)準(zhǔn)。

第二，在等腰三角形教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，整個(gè)分類討論的思想實(shí)際上就是化整為零分而治之，作為一種重要的思想方法，教師要不斷提高對(duì)于分類討論的重視程度，掌握實(shí)際的教學(xué)策略。為了提升教學(xué)的實(shí)際水平，教師要進(jìn)行充分的教學(xué)準(zhǔn)備，既可以和經(jīng)驗(yàn)豐富的教師進(jìn)行探討，掌握深化分類討論教學(xué)效果的方法，也可以在網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中進(jìn)行視頻課程的學(xué)習(xí)，提升分類討論的靈活程度，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第三，教師要對(duì)于分類討論的教學(xué)細(xì)致準(zhǔn)備，對(duì)引起討論的原因進(jìn)行整合分析，對(duì)于問(wèn)題的定義進(jìn)行討論，如果這個(gè)討論是由點(diǎn)引發(fā)的，那么就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于三角形的范圍限制條件進(jìn)行逐項(xiàng)分析，在解題的過(guò)程當(dāng)中更多的關(guān)注三角形的邊和角等限制元素，開(kāi)展充分的討論。教師要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣，在遇到復(fù)雜問(wèn)題的時(shí)候，先想到運(yùn)用分類討論的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)化拆解，轉(zhuǎn)換為自己已知的知識(shí)，進(jìn)行靈活解題。

第四，在三角形運(yùn)算討論過(guò)程當(dāng)中，如果整個(gè)運(yùn)算是由定義引發(fā)的討論，那么就要對(duì)運(yùn)算的限制條件進(jìn)行排除，在角度運(yùn)算的過(guò)程當(dāng)中，要對(duì)滿足相應(yīng)的條件進(jìn)行系統(tǒng)的討論，避免由于運(yùn)算討論不足導(dǎo)致必要條件被遺漏。整合兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、無(wú)理方程的解法、直角梯形的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)。

第五，三角形的位置討論是等腰三角形運(yùn)算當(dāng)中討論的主體，對(duì)于圖形變化引起的討論要對(duì)平面圖形所處的位置進(jìn)行分門別類的分析，做到化整為零。加大對(duì)分類討論的重視程度，開(kāi)展多樣化靈活教學(xué)。

結(jié)論：綜上所述，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅在涉及的范圍上帶有綜合性，而且，問(wèn)題本身會(huì)受多種條件的交叉制約，形成錯(cuò)綜復(fù)雜的局面，很難從整體上著手解決。所以，只能運(yùn)用分類討論思想，化整為零，各個(gè)擊破，最后達(dá)到整體的解決。我們要重視思想劃歸，開(kāi)展分層教學(xué)，不斷提升教學(xué)的細(xì)致程度，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的升級(jí)，提升學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的感興趣程度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)與解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]李淑杰.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“三把尺”——以“等腰三角形”復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（23）：49-51.

[2]任小平.初中數(shù)學(xué)課堂運(yùn)用數(shù)字教材助力學(xué)生高階思維的培養(yǎng)——以“分割等腰三角形”的教學(xué)為例[J].數(shù)字教育，2019，5（4）：64-68.

[3]汪衛(wèi).核心素養(yǎng)視角下初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)——以“等腰三角形性質(zhì)”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（9）：94.

[4]張漢軍.“教體驗(yàn)”助力初中幾何教學(xué)——以“等腰三角形的性質(zhì)”為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（5）：3-6.

作者簡(jiǎn)介：雷貴珍，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)，福建省南平市，福建省南平市順昌縣大歷中學(xué)。