橢圓向量兩相依，融會貫通妙破解
——2018年全國Ⅲ卷理第20題

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 吳 娟

2018年高考過后，數學風云，創新無限，名題如云，美不勝收.特別是2018年高考全國Ⅲ卷理科第20題，其背景簡單，立意新穎，思想豐富，知識融合，動靜結合，實屬難得，是命題中的一大精品，具有非常好的學習、觀摩和研究的價值.

一、試題呈現

【高考真題】（2018·全國Ⅲ卷理·20）已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1，m）（m＞0）.

（Ⅱ）設F為C的右焦點，P為C上一點，且0.證明成等差數列，并求該數列的公差.

本題涉及橢圓的標準方程與幾何性質、直線與橢圓的位置關系、直線的方程與斜率、平面向量的線性關系、等差數列的定義與基本性質等基礎知識，融合了多個知識點，涉及了圓錐曲線、平面向量與數列的相關知識，考查學生運用函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想的能力，以及分析問題和運算求解的能力等.

二、多維破解

（Ⅰ）解法1：設A點坐標為（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），則

由題設知M（1，m）（m＞0）在橢圓的內部，故可得，解得

解法2：設直線l的方程為y=kx+t，

則由Δ=64k2t2-4（4k2+3）（4t2-12）＞0，可得4k2+3＞t2.

兩橢圓方程對應相減，整理可得3x+4my=3+4m2，此即為直線AB的方程，故

由題設可知M（1，m）（m＞0）在橢圓內部，故可得，解得

解法4：設直線l的參數方程為其中t為參數，α為直線l的傾斜角，代入橢圓C的方程，整理可得（3cos2α+4sin2α）t2+（6cosα+8msinα）t+4m2-9=0.

設t1，t2分別是A，B兩點所對應的參數，而線段AB的中點為M（1，m）（m＞0），可得

由題設可知M（1，m）（m＞0）在橢圓內部，故可得，解得

（Ⅱ）解法1：由題意可得F（1，0），設P點坐標為（x3，y3），則

由（Ⅰ）及題設可得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m＜0.

又點P在橢圓C上，所以，故P點坐標為

設該數列的公差為d，則

所以直線l的方程為，將直線l與橢圓C的方程聯立并整理可得

解法2：由，可得

而M（1，m），F（1，0），可得P點的坐標為（1，-2m）.

而點P在橢圓C上，則有，又m＞0，解得m=，則P點的坐標為

設該數列的公差為d，則

解法3：由題意得F（1，0），設

又M為AB的中點，易得，則

以下解答同解法2.

通過從多個不同的角度來處理此問題，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現了對數學知識的融會貫通，充分展現了知識的交匯與綜合，進而達到了提升能力、拓展應用的目的.通過一題多解的實踐，沒有停留在原有的解出題目的基礎上，而是培養學生的轉向機智及思維的應變性，實現提高發散思維的變通性，進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生所言：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”