問題驅動，自然構建
——由一堂課引發的思考

☉安徽省合肥市第四中學 唐愛民

張奠宙先生說過數學有三種不同的形態，第一種是數學家在創建數學結構過程中的原始形態；第二種是整理研究成果之后發表在數學雜志上、陳述于教科書上的學術形態；第三種是便于學生理解學習、在課堂上出現的教育形態.數學課堂教學就是要把抽象的第一、第二種形態轉化為易于學生理解與接受的第三種形態，即教育形態，其中構建自然流暢的教學過程是實現這一轉化的關鍵.最近，筆者觀摩了一堂關于“數學歸納法”的公開課，縱觀整個教學流程，發現還是有一些地方值得商榷的.

一、教學主要過程簡介

1.創設情境，引入新課

故事情境：從前有個財主，雖有萬貫家財，但幾代都沒人識字.這年，他請來一位先生，在家教兒子讀書.先生上第一課時，先教寫字.他寫一畫說是“一”字；寫二畫，說是“二”字；寫三畫，說是“三”字.教到這里，財主的兒子就把筆一擲，興高采烈地跑去告訴父親，說：“我全學會啦，我全學會啦！爹你快把老師辭退吧，不要破費錢財呀！”財主聽了很高興，真的打發走先生.過了不久，財主要請一個姓萬的朋友吃酒，他就叫兒子起來寫請帖.誰知過了半天，財主還不見兒子把請帖寫好，便去催促他.兒子抱怨那人說：“天底下那么多的姓，他什么也不要，偏偏要姓‘萬’的，害得我從早晨到現在，才寫完五百畫.爹，你說氣人不？”

數學情境：12-1+11=11，22-2+11=13，32-3+11=17，42-4+11=23都是質數，于是就有人得出結論：任何形如n2-n+11的數都是質數？你認為這個猜想對不對？

設計意圖：一方面，通過以上兩個情境讓學生了解什么是歸納法、歸納推理的特點；另一方面，通過運算讓學生認識到歸納法存在的缺陷，引發學生的認知沖突，為后續的學習做好必要的思維鋪墊.于是，教師就可以自然地提出“對如何優化歸納法”的思考.

2.動手操作，發現原理

教師為每個學習小組發放了一副多米諾骨牌，學生在“玩”的同時思考：多米諾骨牌全部倒下需要滿足什么條件？

通過動手操作，學生提出了：必須有一塊骨牌先倒下、骨牌的間隙不能太大、骨牌要排列整齊、骨牌要光滑等條件.

經過教師的引導，最后得到骨牌全部倒下的充分條件：第一塊骨牌必須先倒下；前一塊骨牌倒下必須能夠碰到后一塊骨牌.

設計意圖：讓學生在“玩中學，學中玩”的同時發現隱藏在背后的數學原理，這樣的一種發現方式對學生來說是“有趣的”，能夠調動學生的學習興趣，并且能夠讓學生體會到數學與生活的聯系.

3.抽象類比，形成方法

類比“多米諾骨牌”倒下的充分條件，可以得到證明上述結論的步驟.

第一塊骨牌倒下：n=1時，等式成立；

前一塊骨牌倒下后一塊骨牌也倒下：n=k時，等式成立→n=k+1時，等式也成立.

經過師生的共同討論，最后得到數學歸納法的一般步驟.

設計意圖：通過類比，讓學生經歷感受、體驗、領悟、深化的思維過程，從而實現從感性認知到理性思考的升華.

最后，進入方法應用環節.教師布置兩道例題（證明等式、證明不等式），讓學生用數學歸納法進行證明，通過糾正學生的錯誤，規范書寫格式.

二、引發的教學思考

作為高中數學的經典課例，有關“數學歸納法”的教學探討一直沒有停止，如何讓教學設計更加自然、符合學生的認知規律也一直是廣大一線教師努力的方向.雖然本節課的設計有很多可圈可點之處，但總體上還是不夠“自然”.

1.“數學歸納法”不同于“歸納法”

本節課不是概念課，也不是習題課、公式定理課，而是“數學思想方法”課.通過本節課的學習，要讓學生掌握一種全新的思想方法，并認可其合理性、科學性，教學難度不言而喻.但不論什么課型，教師的教學必須立足于學生已有的認知經驗，那么“數學歸納法”的認知基礎是“歸納法”嗎？兩者從字面上看就差了兩個字，看似是同一回事，其實不然.歸納法是從特殊到一般的推理過程，是通過特例來發現一般規律，它的適用范圍不僅是數學學科，而是所有的科學研究.而數學歸納法僅僅是在數學中用來嚴格證明某一類命題的數學方法.歸納法是以獲得結論為目標，而數學歸納法是以“皮亞諾自然數大理中的歸納公理”為理論基礎的一種數學證明方法，追求的是過程的嚴密性.因此，歸納法與數學歸納法是有本質區別的.在本課中，把數學歸納法作為歸納法的一種拓展或者優化是值得商榷的.這樣的做法，很容易讓學生把歸納法與數學歸納法等同起來，從而在實際應用中出現一系列的問題.

2.“多米諾”骨牌不是數學歸納法的本質

在很多課例中，都把“多米諾”骨牌游戲作為發現、提煉數學歸納法的情境，教材也是這樣處理的.但實際上，“多米諾”骨牌現象并非數學歸納法的本質.數學歸納法的出現要早于“多米諾”骨牌游戲，也就是說數學歸納法并不是從“多米諾”骨牌游戲中獲得靈感的，只是類比發現“多米諾”骨牌效應中隱藏著“從一到多，從有限到無限”的數學原理，于是，就把“多米諾”骨牌游戲作為揭示數學歸納法的載體.但在實際教學中，這也是教師的“一廂情愿”而已.正如本節課中所出現的，在探討讓“多米諾”現象成功發生的條件時，很多學生卻提出了“骨牌要排列整齊、骨牌要光滑”等類似的“無效”條件，這就充分說明了從“多米諾”骨牌游戲中提出“數學歸納法”有多難.

三、問題驅動，自然構建

那么本節課該如何設計？關鍵是要明確數學歸納法的本質.數學歸納法的本質其實就是“遞推”，其證明步驟呈現的就是一個遞推的過程.它的教學難點是如何從“有限”上升到“無限”，而數學中往往用“任意”過渡到“無限”，這就是證明步驟中為什么有“假設k”，因為“k”是任意的，任意都成立，從而推出所有都成立.明確了上述兩點，本節課的自然構建也就不成問題了.

1.直面問題，引發思考

問題：已知數列{an}中，a1=1，且滿足N*），計算a2，a3，a4，由此推測數列的通項公式an，并給出證明.

設計意圖：通過計算a2，a3，a4的值，讓學生經歷歸納猜想的過程；猜想獲得公式后，引發學生對于如何進行嚴格證明的思考.并且，本題原本就包含了一個明顯的遞推公式，其作用就是利用an可以求得an+1，即已知前一項可以獲得后一項的結果，學生經過運算，不斷地經歷這樣的一種“遞推”的過程，然后教師再進行適當引導，類比就很容易從形式上與數學歸納法建立聯系.

2.聯系生活，發現原理

上述問題已經具備了提煉數學歸納法的基本要素，但要讓學生直接從中得出數學歸納法的證明步驟，顯然難度太高.聯系生活中的一些常見現象，可以降低思維難度.

摸球問題：一個袋子里面裝了很多球，如何確定里面裝的全是紅球？

問題1：摸1個球，發現是紅球能否說明里面裝的全是紅球？

問題2：摸出2個球，3個球，4個球都是紅球能否說明里面裝的全是紅球？

問題3：需要摸出幾個球是紅球才能說明里面裝的全是紅球？

設計意圖：通過簡單的生活例子，引發學生對于“數學歸納法”做出最原始的思考.顯然，摸出“幾個”球是無法得到“全是紅球”的結論的，最直接的辦法就是把所有的球都確認一遍.如果球的數量很多，這種“枚舉”的方法效率太低.但無論如何，第1個球必須是紅球，如果不是就可以直接得出否定的結論.這就是數學歸納法的第一步“n=1”，這一步是證明的開始，是不可或缺的.

問題4：能否通過足夠少的摸球次數就能確定“全是紅球”的結論？

設計意圖：顯然，這種辦法在現實中一般是不可能辦到的，除非能夠證明任意兩個球之間都存在著某種“傳遞”關系，“前一個球是紅色能夠推出下一個球也是紅色”，這就是數學歸納法中的“遞推”關系.最后，回到“數列通項問題”，類比“摸球”現象，提煉出數學歸納法證明的一般步驟，這樣的教學設計就會顯得很自然.

教無定法，貴在“自然”.教學不是方法的灌輸，也不是技巧的訓練，而是在豐富的情境下，通過問題驅動，讓學生體會到每一個數學概念的出現，新知識、新方法的產生，從而實現學生思維的自然構建.