設計多層多樣 實施多步多途

俞建華

[摘要]“長方體表面積應用問題”的教學是長方體教學的重點和難點。為改變傳統的教學思路，在教學中用“微課題”的形式踐行了“設計多層多樣、實施多步多途”的措施，既滲透了數學思想方法，又提升了學生的數學思維水平。

[關鍵詞]多樣;多途;數學本質;思維品質

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0019-04

在“立體圖形的綜合復習”的結課階段，我出示了一道關于飲料罐的擺放數量及包裝問題（如圖1）。

學生通過計算，得出“可以擺放24罐飲料”。于是我追問：“如圖2，24罐飲料可以包裝成3x8、4x6、2x12等不同的形式，為什么廠家選擇4x6的包裝形式？請用自己的理解來說明理由。”

很多學生嘗試列式計算三種外包裝的表面積。五六分鐘后，只有個別學生計算出了第一種包裝方式的表面積。于是我就表面積的計算方法給出提示，可是耗費了很長時間，學生還是沒有得出結論。我開始著急了：“由于時間關系，老師把這三種包裝材料的計算方法都呈現在課件上。”就匆匆結束了……

這個尷尬的教學場景讓我不由得回顧自己20多年的課堂教學，發現自己在課堂教學設計時存在著“四個一”——教學目標統一、學習方法單一、過程體驗唯一、評價方式劃一，從而導致課堂教學存在“四個缺”——新的教學理念缺位、指導自主學習觀念缺少、關注學習過程體驗缺失、引導自我評價能力缺乏。

為改變“四個一”和“四個缺”現象，我打算采用“微課題”的形式進行教學，下面就是用“四個多”來改變“四個一”和“四個缺”的具體措施。

【教學設計】長方體表面積的教學不能只停留在表面積的列式及套用公式進行機械計算的層面上，應在學生已有的知識經驗以及思維水平上引入新的問題，引導學生運用所學的知識提升自己的思維能力，優化自己的運算及解題策略。于是我對長方體表面積可以滲透優化教學的問題進行了歸類梳理，并提出了多層遞進、多樣顯示的教學設想。

一、注意教材基礎練習，營造情緒氛圍

在學生學習了表面積的概念和計算方法（人教版教材五年級下冊）之后，教材編排了一些練習幫助學生加以鞏固。我對長方體表面積的計算練習進行了簡單的梳理：

對于上述問題的教學，可讓學生先自主嘗試，然后利用學生的原始想法展開教學。首先引導學生觀察自己列出的算式，運用乘法分配率一次或多次提取公因數;再引導學生進行空間想象，把多個面逐步轉化成一個面。這就是常見的形與式的結合。

二、注重課內補充練習，創造優良環境

在長方體表面積計算的教學中，教師經常會在課堂上補充一些練習，學生在課外作業中也會經常遇到一些典型的問題。這些問題主要聚焦于包裝材料上，也是可以進行優化教學的：

對于這兩類問題的教學，需要學生把長方形想象成一個側面加兩個底面，對學生的空間想象能力要求比較高。第一類問題，需要學生考慮到有幾種不同側面的圍法;第二類問題，需要學生進行觀察比較，利用變中抓不變的思維方法進行推理，從而簡化問題。

三、重視拓展延伸練習，促成深切體驗

表面積的學習是一個不斷延續的過程。到了六年級，學生還會接觸到空心圓柱體、三棱柱等表面積的計算問題。這類問題，我把它歸類為柱體的表面積計算，對其也進行一些優化教學的嘗試：

這個是將長方體表面積問題進行延伸后的典型問題，可運用類比遷移的教學策略提煉出柱體的體積與表面積的計算方法。只要是柱體，在進行空間想象時，都可以引導學生把它想象成一個側面加兩個底面，在某種程度上起到了“化繁為簡”的作用。

【實施措施】

優化意識不是一朝一夕就能建立的，它需要一個量的積累，以及逐步滲透、層層內化的過程。基于以上的分析和思考，我采用了緩坡度、慢節奏、細實施的教學方式，分三個層面、三個階段開展。

一、利用運算定律，生成知識技能

在學習了長方體和正方體表面積的計算方法之后，我安排了一節練習課，重在引導學生運用乘法分配率，通過空間想象將一些圖形進行重組和變化，從而優化思考問題的過程。

1.式形結合，提煉方法

課件出示（五年級下冊練習六第5題（P36））：有一個用鐵皮制作的長方體餅干盒，長lOcm、寬6cm、高12cm。如果圍著它貼一圈商標紙（上下面不貼），這張商標紙的面積至少要多少平方厘米？請你盡可能用多種方法計算。

學生方法（如圖3）：

師：來觀察這幾種方法，你能看懂嗎？

生1：方法l是用前后兩個面加上左右兩個面。

生2：方法2是把4個面分成相鄰的2組。

生3：方法3是用表面積減2個底面的面積。

師：你們能理解方法4嗎？

生4：底面周長乘高。

師：這個變化過程可以借助實物一起來理解。（將長方體側面展開，組織學生從算式和圖形的角度來觀察方法1、方法2和方法4的不同與聯系（如圖4））

師：觀察算式后得知，三種方法之間運用了乘法分配率，優化了運算過程。從圖形的變化來看，這是從2組相對面到2組相鄰面到1組側面的變化。

學生在算式優化以及圖形組合的過程中，經歷了2ah+2bh→2（ah+bh）→2（a+b）h的思考過程，最后得出求側面積的計算方法是底面周長乘高，即S側=Ch。

2.圖形重組，化零為整

課件出示（五年級下冊（37）頁練習六的第9題）：

師：黃色油漆需要涂哪些面？怎么算？

生1：前面和后面，列式為（40x55+40x65+40x40）x2。

師：這三個面還可以怎么求？仔細觀察這三個面有什么共同的特點。

生2：它們都有一條邊相等，可以把它們組合在一起。

師：你能把想法畫在黑板上嗎？比如像圖6這樣。

在學生畫出了示意圖，并列出了計算方法“（ 65+55+45） x40x2”后，教師組織學生比較兩種方法之間的變化關系，學生很快發現了隱含其中的乘法分配率，這就為學生思考問題提供了一條新的途徑。

至此，在解決紅色油漆面積的問題時，大部分學生就不再急著將每個面求出后再相加，而是先觀察所求的面有沒有共同的邊。經過討論交流之后，很快就有學生想出了新的方法：（ 55+40+10+40+25+40+40） x40。

師：你能看懂這位同學的方法嗎？

生3：通過乘法分配率把40“拿”出來。

師：你發現了算式上的變化，那怎么想象這些圖形發生的變化呢？

生3：把紅色的面都接起來，然后變成一個大的長方形。括號里的就L是大長方形的長。（教師出示圖7）

3.變曲為直，化整為零

課件出示：如圖8，設計禮物的包裝紙。請動手算一算、畫一畫，再判斷這張包裝紙夠嗎？可以怎么包裝？

師：包裝這個禮物需要考慮幾個面？

生1：考慮6個面。

生2：只要考慮3個面就可以了。

生3：考慮兩個面，側面和底面。可以先取一部分包裝紙把禮物的側面圍起來，剩下部分再看夠不夠做底面就可以了。

教師組織學生再次嘗試，但很多學生都放棄了之前的想法，按生3的想法來操作。有學生提出：長方體的側面是可以變化的，可以把前后左右或上下前后，或上下左右當側面，所以有多種包裝方法。學生具體操作后得出兩種方法（圖略）。對此，教師沒有直接肯定或是否定，而是引導學生在解決問題的時候視具體情況而定。

二、巧用通用公式，掌握核心方法

在結束圓柱體的體積以及表面積計算學習之后，學生已學完小學的立體圖形知識。教材把長方體、正方體以及圓柱體的體積公式進行了統一，于是，我運用類比遷移的策略將柱體表面積計算方法統一，從而優化學生的思維能力。

師：這個圖形（如圖9）的表面由幾個面組成？表面積如何算？

生1：5個面。因為它是柱體，表面積l為側面加兩個底面。

師：你覺得這里的側面積可以怎么求？

生2：把三個長方形的面積加起來。

生3：因為側面展開是一個長方形，所以可以用底面周長乘高來計算。長方形的長就是原來的三角形的周長，寬就是原來的高。

生4：結合算式“3x10+5x10+4x10=（3+5+lO）xl0”來理解，括號里是底面的周長。

學生在討論交流長方體、正方體和圓柱的表面積計算方法的過程中，結合三棱柱的表面積計算方法，歸納得出柱體表面積公式“底面周長×高+2個底面積”。

把原來三維的問題看成了二維的問題，讓學生看到柱體就能想到它的表面積是側面加兩個底面。將具有共同特征的圖形的相關計算方法進行統一，不僅降低了對學生的計算要求，還可以發展學生的空間觀念，提升學生的遷移能力。

三、妙用比例思想，培養綜合思維能力

學完六年的數學課程，學生已經掌握了一定的運算技能，也具備了優化問題的意識，但在一些需要比較的問題上，他們還是習慣計算后再進行比較，比如本文一開始就提出的包裝問題（如圖2）。對此，我在復習階段就引導學生用正比例思想去解決類似的問題，以拓寬學生研究問題的視角，從而優化解題策略。

1.出示問題，嘗試解題

師（出示圖1和圖2）：這里的省料其實就是指什么？能用自己的理解說明問題嗎？（大多數學生是用側面積加兩個底面積的計算方法）

2.討論交流，尋求策略

師：有沒有不是通過計算表面積進行比較的同學？

生1：都是24罐，底面是相等的，所以只要比較側面積就行了。

生2：求側面積也很麻煩啊。

生3：側面積可以用底面周長乘高計算，既然高相等，只要比較底面周長就可以了。

生4：只要比較長與寬的和，因為周長等于長與寬的和乘2，這里的2是不變的。

3.深度討論，直擊本質

師：馬上算一算長與寬的和分別是多少。

生5：4+6，8+3，12+2。

生6：4還得乘5.5，6也要乘5.5 -都要乘5.5再相加。

生7：不用的，大家都乘5.5，都一樣，所以只要比較4+6、8+3、12+2就可以了。

師：對，可以通過計算得出4+6<3+8<2+12，但是它們不是長與寬的和，而是——

生8：沿著長邊和寬邊擺放的飲料的數量和。

學生通過討論交流，得出“當高相等時，比較側面積只要比較底面周長就可以了”。在這里，學生運用正比例思想，經歷了S表一S側一Cr面周長一a+b的比較過程。毋庸置疑，這給學生提供了一種新的解題策略。

【理論印證】

“設計多層多樣、實施多步多途”的“微課題”印證了以下理論：

1.美國多樣化和高質量研究中心提出的有效教學的五大原則：第一個原則是著眼于教學過程的質量特征，即生成性;第二、第三個原則是著眼于教學的基本策略，即交流互動和與原來的經驗相聯系;第四、第五個原則是著眼于教學的目標，即綜合思維能力和語言運用能力。這為我的課堂教學改革提供了可靠的依據和獨特的視角。

2.課程標準：有效的學習活動不能單純地依據模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學習數學的重要方式。

【實踐感悟】

1.分階段滲透思想方法。主要表現在三個方面：緩坡度，結合每一個新授知識進行提煉，并輔以訓練;慢步伐，每次的教學都放慢步伐，讓學生對頭腦中已有的數學活動經驗進行分析、比較，直至形成比較合理和完善的問題解決結構;細實施，每一階段的教學，都不排斥原有方法，但必須讓學生認識到原有方法的局限性，感受新方法的優越性。

2.分需求培養思維水平。以學知識、長見識、悟道理為原則，根據學生需求不斷尋找新的方法，凸顯數學的本質，促使學生尋求最優的策略;致力于學生數學思維的培養，思維品質的提升，給學生帶來切實的進步和提升。

3.分層次提升自評能力。不管是運用乘法分配率對算式或者計算公式進行變形，從而進行簡便運算，還是利用比例思想轉化問題，從而簡化問題，都是根據不同學生的起點，發揮其自身的能動性，并促其形成自評的習慣，從各個角度肯定學生的表現與進步。

（責編 金鈴）