線性代數中行列式性質的講法

白忠玉

【摘要】在應用型本科背景下，基于教學經驗，介紹了線性代數課程現狀，分析了行列式性質的引入、內容與應用，提出了關于講解行列式性質的一些想法.

【關鍵詞】線性代數;行列式性質;應用型本科

目前應用型本科線性代數課程出現一些新變化，課時被壓縮，重應用輕理論，教材內容沒有減少，教學要求越來越高，有些專業甚至不再開設線性代數.在這種情況下，如果再按部就班完整系統地講授，時間不允許，內容講不完，學生不易學.考慮到應用型本科學生數學基礎普遍薄弱，尤其是理論方面，有必要對線性代數的講法進行一些創新.

本文以線性代數中行列式性質這一節為例，來談一談應用型本科院校線性代數課程講法.行列式性質是必須掌握的重要理論，是計算行列式的關鍵，難點是如何靈活運用行列式的性質，巧妙而簡潔地計算出行列式的值.對線性代數行列式，已有一些研究結果，見[1-6].下面討論在行列式性質教學中要注意的幾個問題，如引入、性質與應用等.

一、引 入

應用型本科教學對理論要求不是太高，側重于培養學生的實踐動手能力，而行列式性質又比較抽象，在講行列式性質之前，可適當選取一些三階行列式的例子，讓學生計算出各行列式的值，教師再講解，這樣既復習鞏固了前面已學行列式的有關知識，又為引出行列式的性質做鋪墊，與傳統的理論推導相比，學生容易接受，事半功倍.

二、性 質

大多數線性代數教材中行列式性質編排得比較雜亂，給教師教學和學生學習帶來很大的困難.在此，我們總結出行列式的性質，雖然沒有經過嚴密的證明，卻降低了學生理解行列式性質的難度，又培養了學生學會歸納的良好習慣，也符合應用型本科教學的實際情況，提高了教學效率.同時，為了便于學生記憶和掌握，我們給每條性質簡單命名.當然，這些性質可以推廣到更高階的行列式.

（一）轉 置

行列式與它的轉置行列式相等，即D=D′.

（二）互 換

交換行列式的兩行（列）一次，行列式變號一次.

（三）提公因子

行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式的外面.

（四）零 值

（1）若行列式中有一行（列）元素全為零，則行列式為零.

（2）若行列式中有兩行（列）對應元素成比例，則行列式為零.

（3）若行列式中有兩行（列）對應元素相同，則行列式為零.

（五）分 解

若行列式某一行（列）的元素都是兩數之和，則此行列式就等于兩個行列式的和.

（六）倍 加

把行列式某一行（列）的倍數加到另一行（列）上去，行列式的值不變.

三、應 用

和應用型本科其他課程的學習一樣，線性代數也要注重應用.教師在教學中要簡要介紹行列式有哪些應用，以及如何應用，讓學生認識到行列式的重要性，感覺到線性代數課不再抽象枯燥，從而提高學習興趣和積極性.

學習了行列式性質后，我們就可以計算行列式、解線性方程組、判斷方陣是否可逆等.行列式在其他學科中也有重要的應用，如微積分中重積分的變量代換、解析幾何中求曲線方程和曲面方程、代數中構造行列式證明不等式和定理等.在以后的學習中，大家將會看到行列式在工程技術、數據科學、經濟學中也有廣泛的應用.本文只闡述運用行列式性質計算行列式和解線性方程組.

（一）計算行列式

大家已經熟知上（下）三角形行列式的結果，因此，計算行列式時，常利用行列式的性質，根據所求行列式的特點，把它化為上（下）三角形行列式，此時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值，這種方法稱為“化三角形法”.

（二）解線性方程組

當線性方程組中方程的個數和未知數的個數相同，且有唯一解時，我們可以用行列式來解方程組，這就是“克萊姆法則”.一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量比較大，往往可以用計算軟件來解決.

至于其他方面的應用問題，此處不再贅述，大家可參閱相關文獻和書籍.

【參考文獻】

[1]舒阿秀.關于線性代數中行列式教學的思考[J].安慶師范學院學報：自然科學版，2006（3）：46-47.

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