教材習題開發利用的策略

陳衛青

【摘? ?要】教材習題不僅包含著基礎知識與基本技能，還蘊含著解題策略、數學思想和方法等內容。要發揮好教材習題的練習作用，就需要教師對教材習題進行深入的分析，充分挖掘隱藏在這些習題中的資源。具體操作可以從以下四方面著手，對教材習題進行開發利用：借題發揮;舉一反三;領會題意;改編習題。

【關鍵詞】習題;數學教學;策略

教材習題內容豐富，圖文并茂，不僅包含著基礎知識與基本技能，還蘊含著解題策略、數學思想和方法等。筆者通過“教材練習素材的利用與開發”這一課題，對課后習題進行了深入的分析，邊教學邊實踐，很好地發揮了習題的練習作用。現對實踐中所運用的幾點策略總結如下，供大家教學時參考。

一、借題發揮，突出方法與規律的提煉

教材在編寫課后習題時，除了緊扣本節課的知識與技能，還會安排一些具有代表性的素材，使學生練習后能更好地總結方法、提煉規律。

比如在教學人教版五年級下冊“最大公因數”后，教材配有以下習題。

找出下面每組數的最大公因數。

6和9? ? 15和12? ? 42和54? ? 30和45? ? 99和36

5和9? ? 34和17? ? 16和48? ? 15和16? ? 13和78

教材對這10組數做了精心的設計。這10組數中有兩個數是互質數關系的若干組，兩個數是倍數關系的若干組，兩個數既不是互質數關系又不是倍數關系的若干組。如果教師在教學時，只讓學生求出每組數的最大公因數，而不引導學生針對各組數的特點進行方法和規律的提煉，那只能是單一的訓練。所以教師有必要在學生找出每組數的最大公因數后，提出以下問題：怎樣能更快地找到兩個數的最大公因數？

學生針對這一問題先獨立思考，分小組討論后，教師再組織集體交流。

生：我看到這10組數中有兩個數是倍數關系的，小的那個數就是這兩個數的最大公因數。

師：你能舉例說明嗎？

生：如“13和78”，這里的78是13的6倍，13就是78的因數，所以13和78的最大公因數就是13。

師：以上10組數中兩個數是倍數關系的還有嗎？（教師根據學生的回答，重新把有倍數關系的組寫在一起）

生：如果兩個數的公因數只有1，那最大的公因數就是1。如“5和9”，最大公因數是1。

師：很好！兩個數的公因數只有1，我們把這兩個數叫作互質數。

生：我發現兩個數是相鄰的自然數時，這兩個數的最大公因數也是1。如“15和16”這兩個數的最大公因數是1。

師：是嗎？大家是否再舉例說一說？（學生說了很多，如16與17，17與18，288和289……這樣的兩個數的最大公因數都是1）

師：除了兩個數是互質數關系、倍數關系的，還有什么關系？

根據學生的回答，教師作如下板書（如圖1）。

圖1

師：當兩個數既不是互質數關系，又不是倍數關系時，用什么方法能更快地找到最大公因數？

生：在兩個數中，先把小的數的因數都找出來，再看看哪個因數是大的數的因數，找出最大的因數就是這兩個數的最大公因數。如“6和9”，6的因數有1，2，3，6，發現3是9的因數，所以“6和9”的最大公因數是3。

師：你們再想想，有必要把較小數的因數都找出來嗎？

生：可以把較小的數除以2來比較。如“6和9”，把6除以2等于3，這3又是9的因數，所以“6和9”的最大公因數就是3。如“15和12”，把12除以2等于6，6不是15的因數，再把6除以2等于3，這3是15的因數，所以“15和12”的最大公因數就是3。

師：好！大家用這種方法再找一找另外3組數的最大公因數，看是否可行？（過程略）

師：這種方法叫作把較小數縮倍法，但一定都要除以2嗎？如碰到“27和36”，只要把較小的數27除以3等于9，9是36的因數，也就找到“27和36”的最大公因數是9。

接著教師借以上分析又向學生提出以下的練習：

①如果“a和36”的最大公因數是12，且a<36，那a是（? ? ? ? ?）。

②如果“a和36”的最大公因數是1，且a<36，那a是（? ? ? ? ?）。

生：第①題a=12，24;第②題a=1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

教材習題解答后，教師繼續向學生提出問題，引導學生進一步概括解題的方法和規律，并利用發現的規律提出新的練習。這樣的延伸性提問和補充，能把原題的功能發揮得淋漓盡致。

二、舉一反三，突出解題思路的拓展

由于受版面的限制，教材中同一內容、同一性質的練習材料相對較少。而學生在學習過程中不可能只通過一兩個練習就能進行歸納、提煉，所以需要教師根據教材提供的練習材料，自主創編出適量的、具有相互關聯的習題，可采用“一題多問，一題多解，一題多變”等方式，觸類旁通，拓寬學生解題的思路。

（一）一題多問，加深理解解題方法

“一題多問”，不是每一題都要去“多問”，有些題不需要多問，有些題自然要多問。比如老版（2009年3月第2版）的人教版教材六年級上冊“扇形統計圖”中有這樣一道練習題（如圖2）。

圖2

此題的練習目的是“能根據具體數據選擇合適的統計圖”。教學時，教師往往希望學生回答出預設答案：第（1）組數據更適合畫折線統計圖;第（2）組數據更適合畫扇形統計圖;第（3）組數據更適合畫條形統計圖。接著教師最多會追問：為什么？

這樣的教學，此題的功能沒有得到應有的發揮。教師可在學生回答說理后，繼續補充以下問題。

問題1：請你們想一想，根據第（2）組數據繪制成的扇形統計圖會是什么樣子的？

在學生比畫表述后，教師再出示一組圖，向學生提出：你想象的統計圖的樣子應該是哪個圖？

問題2：下面是綠蔭小學去年種下各種樹木成活率統計表（如圖3），你覺得根據表中的數據可以畫出扇形統計圖嗎？

圖3

大部分學生回答：可以。沉默片刻后就有越來越多的學生發現，這張表格中的百分數表示的是各種樹木的成活率，相互沒有關聯，所以不能畫成扇形統計圖。

問題3：題目中第（2）組數據中的百分數是怎樣計算出來的？

學生通過觀察回答：第（2）組數據中的百分數是根據第（3）組數據算出來的。

這時教師讓學生根據第（3）組數據算一算是不是剛好是第（2）組數據中的百分數。然后出示圖4，再向學生提出要求：請你根據表中的數據畫出扇形統計圖。

圖4

教材提供的三組數據，只要求學生選用畫哪種統計圖更合適。停留在這樣的分析上，只能達到讓學生認識各種統計圖在什么情況下更合適的目的。如果以此題為背景，采用一題多問的方式，可使學生對扇形統計圖有進一步的認知。

新版（2014年3月第1版）的人教版教材對此題作了極大的改進，在加深學生對解題方法的理解上有了很好的引領。

（二）一題多解，交流拓展解題思路

教材中有許多習題本身蘊含一題多解的特點，所以在學生解答后，教師要繼續引導學生用多種方法去解答，并及時組織學生交流，使學生能更好地拓寬解題思路，提高解決問題的能力。

比如人教版五年級上冊“多邊形的面積”中有這樣一題（如圖5）。

圖5

教師先讓學生獨立解題，并要求用不同的方法進行解答，接著展示學生的解題方法，最后進行分類整理并歸納解題思路。

第一類：先分割，再計算。

方法1：按上、下分（見圖6-①），把陰影分割成上、下兩部分，陰影部分的面積是：5×4÷2+（2+5）×4÷2=10+14=24（cm2）。

方法2：按左、右分（見圖6-②），把陰影分割成左邊是一個直角梯形，右邊是一個鈍角三角形。陰影部分的面積是：（4+5）×2÷2+5×6÷2=9+15=24（cm2）。

方法3：連對角線（見圖6-③），分成兩個鈍角三角形，陰影部分的面積是：4×8÷2+2×8÷2=16+8=24（cm2）。

圖6

第二類：先補充，再計算。

方法4：把它補成一個梯形（見圖7-①），算式是：（4+8）×8÷2-8×6÷2=48-24=24（cm2）。

方法5：把它補成一個梯形（見圖7-②），算式是：（2+8）×8÷2-8×4÷2=40-16=24（cm2）。

方法6：把它補成一個正方形（見圖7-③），算式是：8×8-8×4÷2-8×6÷2=64-16-24=24（cm2）。

圖7

第三類：直接數方格。

“一題多解”可培養學生的求異思維，促使學生從不同角度分析問題、解決問題，努力拓寬思維的廣度。但在“一題多解”中，應注重學生在求異中的歸納、優化，使求異更有價值。

（三）一題多變，完善解題模式

一題多變是訓練學生完善解題模式，提高思維靈活性的有效方法。如人教版六年級上冊“分數除法”中有這樣一道題。

挖一條水渠，王伯伯每天挖整條水渠的[120]，李叔叔每天挖整條水渠的[130]。兩人合作，幾天能挖完？

此題是已知工作效率的工程問題，可以直接運用的數量關系是“總工作量÷工作效率和=合作工作時間”，即“1÷（[120]+[130]）=合作工作時間”。基于此題的解題模式，可先回歸到兩人獨做需要的工作時間上，并以此題變換出不同背景下的題目，如以下題組。

①挖一條水渠，王伯伯單獨挖，需要20天完成;李叔叔單獨挖，需要30天完成。兩人合作，幾天能挖完？

②從甲城到乙城，客車需要20小時，貨車需要30小時;現在客車和貨車分別從甲、乙兩城同時相向開出，幾小時后兩車相遇？

③姐妹兩人繞著周長為600米的池塘走路，姐姐單獨走一圈要20分鐘，妹妹單獨走一圈要30分鐘。現在她倆從同一地點同時相背出發，經過幾分鐘后兩人相遇？

④一批木料，如果做課桌，可以做20張;如果做椅子，可以做30把。如果一張課桌配一把椅子為一套，這些木料可以做多少套這樣的課桌椅？

⑤一個游泳池有兩根進水管，單開甲管，20小時可以把空池注滿;單開乙管，30小時可以把空池注滿。現在同時打開甲、乙兩管，幾小時可以注滿這個游泳池？

以上5題可使學生認識到只是問題背景在變，解題模式都是一樣的。為防止學生產生思維定式，可再增加以下題目：

橘子成熟了，李叔叔說：我家果園里的橘子我一人采摘需要20天完成。王叔叔說：我家果園里的橘子我一人采摘需要30天完成。如果兩人合作，幾天可以摘完橘子？

三、領會題意，做好滲透

教材中的有些習題，蘊含著后繼要學的數學知識，這就需要教師給予挖掘強化。如果及時引導學生進行延伸性思考，就能很好地激發學生對數學的學習興趣，更好地滲透后繼知識的學習。如人教版四年級上冊“角的度量”這一單元，教材設計了多個圖形的測量，都可滲透后繼知識的學習。

如圖8-①，此題讓學生測量后去發現“對頂角相等”。

①? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③

圖8

又如圖8-②題，此題讓學生發現“兩條平行線之間所畫的角的度數是另外兩個角的度數的和”。

再如圖8-③題，此題讓學生發現“同弧所對的圓周角的度數相等”。

雖然這些知識要到中學才學習，但學生通過測量，不僅可鞏固量角技能，更能感受到數學的奧秘。因此在教學這些習題時，除了完成原題的任務外，還應該進一步引發學生去舉例驗證，如圖8-①，學生在發現對頂角相等后，教師可讓學生在紙上任意畫出兩條相交的直線，去測量驗證。

四、改編習題，提升價值

教材中的有些習題往往只針對某一知識點或某一技能，為了發揮習題的最大作用，在實際教學時，可根據學習內容和學生的實際情況，對習題進行改編。比如人教版四年級上冊“認識平行四邊形”做一做中有這樣一題（見圖9）。

圖9

此題的意圖是讓學生發現所擺的平行四邊形的形狀有不同，從中認識平行四邊形的不穩定性。筆者認為此題只給學生4根小棒，學生在拼擺時，只要把對邊擺相等了，平行四邊形也就擺成了。這樣的題目思維含量低。為此，筆者在教學時將此題改編成了以下的問題（如圖10）。

圖10

從7根吸管中選擇4根串成平行四邊形，學生在解決這個問題時，要根據平行四邊形的特征來思考。當選好4根吸管串成平行四邊形時，這實際上做了一個能抽拉的學具，學生自然就認識到平行四邊形具有不穩定性。

當學生選擇2號管2根與3號管2根，串成平行四邊形時，學生在抽拉中還認識到長方形是特殊的平行四邊形。

當學生選擇2號管4根，串成平行四邊形時，學生在抽拉中除了認識到有四條邊相等的特殊平行四邊形外，還動態地認識到正方形是特殊的平行四邊形。同時教師還可以告訴學生這四條邊相等的平行四邊形，還有一個名字叫菱形。

這樣的改編，使學生動態地獲得了平行四邊形具有不穩定性，長方形、正方形都是特殊的平行四邊形等知識，提升了習題的價值。

教材習題的開發利用，還有很多策略可以研究。

（浙江省臨海市哲商現代實驗小學? ?317000）