透視骰子：玩推理，長思維

羅永軍

【摘? ?要】推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。因此，推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中?！巴敢曶蛔印笨瓷先ズ苌衿?，實質上是在進行數學推理。首先是歸納推理，學生需要從數據中發現內在規律;其次是演繹推理，學生需要把數量關系變式應用。隨著推理過程的深入，學生的算術思維與代數思維也在自然生長。

【關鍵詞】歸納推理;演繹推理;算術思維;代數思維

我喜歡看魔術。有一位網友知道我的愛好，發給我一則魔術視頻“透視超能力”：一位魔術師聲稱他有超能力能看到別人看不到的東西。為驗證自己的超能力，他蒙上眼，請一位觀眾隨意擲了一把骰子，隨意撿了4顆骰子疊起來，疊在一起的骰子有7個面是看不到的（如圖1）。魔術師摘下眼罩看了一眼后，馬上就報出這些隱藏面的數字和是24。經當場驗證，結果正確！這是怎么回事？觀眾是“托兒”嗎？不太像。觀眾是隨意扔出了一把骰子，并且她在疊骰子的時候動作很快，根本沒有時間去看那些骰子的點數。既然不是靠觀眾的配合完成的，那很有可能秘密就在骰子本身。

一、數學分析

骰子（tóu骰zi子），北方的很多地區又叫色子（shǎi色zi子），是中國傳統的玩具，早在戰國時期就有，通常作為桌上游戲的小道具。最常見的骰子是立方體骰子，它的面上分別有1-6個小孔（點子或數字），其相對兩個面的數字和是7。

點子數為什么不是按數字大小的順序從1排到6呢？有一種解釋是骰子常常用來作為博彩的道具，因此公平是非常要緊的。骰子在滾動時有3個軸向，分別是前后、左右、上下。每個軸向兩個面上的小孔總數要相等，即每個軸向的重量相等，這樣才會對骰子滾動影響最小。所以每個軸向相對的兩個面分別是1和6，2和5，3和4，總和都是7。

根據骰子的排列規律，當桌面上只有1顆骰子，上面的點數是a，那么隱藏在底面的點子就是（7-a）。比如，把2顆骰子疊在一起，如果上面的點子數是6，那么隱藏面的點數總和就是7×2-6=8;如果上面的點子數是5，那么隱藏面的點數總和就是7×2-5=9;如果上面的點子數是a，那么隱藏面的點數總和就是（14-a）。當n顆骰子疊在一起，如果上面的點子數是a，那么所有隱藏面的點數總和是（7n-a）（如圖2）?，F在我們應該明白魔術師是如何快速地透視骰子了吧。在視頻中，魔術師看到觀眾疊的4顆骰子最上面的點子數是4，他馬上就能夠算出隱藏面的點數總和就是7×4-4=24。

通過數學分析，我們很容易就能破解這個“透視超能力”的魔術，不過學生能看出其中的秘密嗎？

二、認知分析

“透視骰子”實際上是一項數學推理活動。首先是歸納推理——通過觀察發現骰子上的數字歸納出規律：相對面的數字和是7。然后是演繹推理——根據1顆骰子上下面的和是7，推導出n顆骰子上下面的和是7n，再根據這一結果減去最上面的點子數最后得出所有隱藏面的點子和。

“透視骰子”還提供了一種跳出思維定式的體驗。一般來說，想要知道若干個數的和，通常的方法是把若干個數相加，即由部分數（P）得到整體和（W），這是一種順向思維。可是，如果這些部分數無法知道呢？有沒有辦法解決？有。我們可以想這個和在更上位的關系中與什么有關，也就是說跳出固有思維來看，這個底層關系中的和（W）在上位關系中其實是一個部分數（P）。

（一）歸納推理

這個實驗適合幾年級學生？學生會如何思考？能否順利地完成歸納推理呢？從運算的角度來看，兩個一位數相加的計算是屬于一年級的內容，但考慮到還要用到乘法，所以要放到二年級第一學期之后教學。我們選擇二、三年級各3個班（每班36人）進行了調查，每人發1顆骰子和1張方格紙，請學生擲一擲骰子，記一記點子數，找一找規律。學生獨立操作的時間為3分鐘。結果發現，二年級108位學生中有17位發現規律，三年級108位學生中有28位發現規律。也就是說到三年級第二學期，能發現規律的學生不到30%。

那么，其余學生是如何思考的呢？以這顆骰子為例（如圖3），學生先是觀察了骰子顯露在外的5個面分別是1，2，3，5，6，發現還缺“4”，于是就判斷底面的數是“4”。這是用排除法來解決問題的，也有推理的成分在內，不過用在求多顆骰子疊加隱藏面的和就難以為繼了。

為什么從中發現數量關系那么難呢？我拿了學生記錄的3組數據（如圖4）請辦公室的老師們觀察，結果沒有一個人發現其中的規律！大家覺得奇怪，這是哪里來的數據？我告訴大家原委并解釋了數據的來源（如圖5）。有的同事聽完之后略想了一會兒就指明了規律：表格中的數是每兩個一組：前后之和是7，上下之和是7，左右之和是7，相對兩個面上的數字和是7。為什么發現規律這么難呢？大家一起分析了原因，可能以往用來找規律的數據，常常是線型排列：從第1個數開始，每一個后繼數都和前一個數有一定的關系，整個數列中的數都是“串”在一起的。而此表格中的數是每兩個一組形成數對，它們的排列并不是線型的，每一個數不獨立，而是成對排列。像這樣呈現數對規律的數列在小學數學中確實不多見，難怪學生沒有馬上發現。

圖4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖5

從觀察現象到歸納出蘊含其中的規律，不是一個顯然的過程，需要“會主動地建構一些假設，并根據前提提供的證據來評估這些假設的似然性”。在這個過程中，會假設是關鍵，學生需要有較強的數感，即對數的組合與大小有較強的感悟。

（二）演繹推理

當學生發現“一顆骰子相對面的和是7”這一基本數量關系之后，能不能進一步根據骰子上面的點數推斷出隱藏在下面的點數呢？答案是肯定的，108位三年級學生的正確率是100%。不過當2顆、3顆、4顆骰子疊在一起后，求隱藏面的點數和學生感覺還是比較困難的，只有9位學生能獨立完成。完成的方法有兩種，以4顆骰子為例，有6位是用“7-1=6，3×7=21，6+21=27”，用“7×4-1=27”這一方法的只有3人。顯然想到用后一種方法的同學推理能力更勝一籌。對于這樣的結果，其實也不意外，畢竟這個年齡段的小學生的思維還處于“具體運算階段”，對于具體的、看得見的事實能夠較好地認知。

皮亞杰把7-12歲（小學階段）兒童的思維界定為“具體運算階段”，這個階段兒童的思維有兩個主要特點：開始有守恒觀念和能進行群集運算。“透視骰子”的推理活動恰恰需要兒童具備守恒觀念和群集運算能力。在這個實驗中，雖然我們無法知道每一個骰子上下兩個面的點數具體是多少，但我們知道它們的和一定是7（守恒）。從下往上疊放，2顆骰子的數字和是7×2=14，3顆骰子的數字和是7×3=21，……n顆骰子的數字和是7n（群集）。這兩項認知能力是數學推理的基礎，反過來數學推理活動也能促進兒童在具體運算階段的思維水平的提升。

三、教學分析

基于以上分析，我們把教學目標定位為幫助學生積淀推理經驗。整個實驗教學分為兩步。

（一）修煉透視眼：尋找骰子點數的排列規律

1.分段看錄像：一位魔術師聲稱自己有超強的透視能力。他請觀眾把骰子疊在一起，然后很快地說出隱藏面的總和。你覺得他會不會成功？這里把4顆骰子隱藏7個面的情況交代清楚以清晰問題。

2.師：你認為這種能力是天生的還是后來修煉出來的？你準備怎樣來修煉呢？我相信每個人都有自己修煉的方式，讓我們先從1顆骰子開始修煉吧。

3.學生兩人一組進行探究，時間3分鐘。

擲骰子時，骰子朝上的數字是隨機的，1-6每個數字都有可能出現，學生在實驗時感到捉摸不定。圖6是學生的一張活動記錄單。請注意這張記錄單上前4組數據和后5組數據的差別！顯然這位學生在前4次活動中沒有把骰子的上面點數和底面點數聯系起來，轉變是在第5次，從第5次開始，他全部“猜”對了！他是怎么發現的呢？在反饋交流時，他說：“剛才3的對面是4，現在（骰子的）上面是4，所以我就知道現在的底面是3。我（根據前面的結果）還知道2的對面是5，1的對面是6，它們加起來都是7?！睆倪@位學生的敘說中可以看出，他的整個思維過程有3個層次，首先是發現骰子朝上的數字重復出現了（如上表中的第2、3列），可以根據前一次結果來確定;其次是發現了所有3組數的位置搭配關系。至此，學生發現了數與位置的關系，這是一種空間位置關系;最后，發現數對之和是7。筆者原以為學生知道了對應關系后，發現“和是7”是很自然的事，然而實際情況是，要推理出數量關系對學生來說還是有難度的，這和前測中了解到的情況基本相符。當有同學匯報時說出“和是7”時，好幾個學生情不自禁地點頭稱是。學生發現“和是7”，看上去只是提升了一小點，但對于處在“具體運算階段”的學生來講還真是一個“思維跨越”。

好了，1顆骰子已經能“透視”到底面，那么多顆骰子疊在一起呢？

（二）再煉透視眼：多顆骰子疊在一起求隱藏面的數字和

1.選擇骰子。給學生每人準備了4顆骰子，讓他們自由選擇從幾顆骰子開始研究。一方面是希望學生能自己來規劃實驗;另一方面研究的方法與路徑每個人有自己的習慣，沒有絕對的優劣之分。事實上，那些掌握了“透視”能力的學生有的是從3顆開始研究，有的是從4顆開始研究，從2顆開始研究的反而是少數學生。從任意點切入進行研究都是可行的，關鍵還要靠研究者的觀察、思考和領悟能力。

2.實驗與操作。師生討論實驗步驟：（1）疊一疊;（2）猜一猜;（3）算一算;（4）想一想。兩人小組活動，第一次大約5分鐘。第二次活動時間視學生探究情況而定。

3.反饋與思考。從第一次活動后的反饋中發現，大約只有10%的學生找到了算法。這個數據和前測結果相同，學生在此確實陷入了困境。他們的困惑是什么呢？

在教學中，我們發現學生往往是先看骰子頂面上的點數，比如頂面是1，然后用7去減，得到這顆骰子的底面數字6，再接下來學生就陷入了困境：繼續往下那個面是幾呢？它的下面又是幾呢？上面的數不知道那么下面的數也沒辦法知道。于是學生就會忍不住打開骰子去“偷看”。由于每一個骰子朝上的數字是隨機的，每次看到的不一定相同，更加讓學生對骰子產生捉摸不透的感覺。

其實，學生在“透視骰子”的過程中也用到了“和是7”的數量關系，但只是用在最上面的第1顆骰子上。對于疊在中間的這些骰子，在計算總數時學生還是會糾結每一個面上的數究竟是幾，而沒有把“和是7”作為一個前提去應用。這表明學生的思維還停留在“要得到總數，必須先知道部分數是幾” 這個瓶頸中。

學生的思維有可能突破困境嗎？除了教師直接講解外，還能怎么做？

在學生的實驗中，我們適時提供了實驗單（如圖7），提醒學生記錄實驗數據。有的學生在記錄骰子點數寫算式時，忽然發現骰子上下兩個面不管隱藏著數字幾，它們的和都是7，如6+4+3+5+2其實可以這樣算：如6+（4+3）+（5+2）或者是7+7+7-1。有的學生對于重復結果很敏感，在記錄實驗數據（規律連續呈現）中，悟到了關系;也有的學生發現，3顆骰子無論怎樣疊放，只要頂上的數字相同，所有隱藏面的數字和也一定是相同的。比如頂面上的數字是1，不管它下面的骰子怎么疊放，所有隱藏面的數字和都是20。增加1顆骰子會怎樣呢？如果頂面上的數字還是1，那所有隱藏面的數字和就增加了7，和是27。再增加1顆呢？總和又增加了7，這引起了學生的注意——骰子上下兩個面的數字和就是7呀。對實驗過程與結果的反思促進了學生對于規律的發現。雖然學生觀察與思考的維度不一樣，但同樣發現了骰子的秘密。

其實我們提供的實驗單本身并沒有直接的教學功能，但是有了實驗單以后學生的思維能夠外化為可視化的方式進行分析與再思考。

不過，為什么前后兩個實驗都是推理活動，但對于學生來說后者會那么難呢？

如果只是從推理要素來判斷歸納推理與演繹推理孰易孰難，這比較困難。但如果從數學思維的角度來看前后兩個實驗，可以發現實際上是兩種思維的進化。前一個實驗是透視單個骰子，學生發現相對面的數字和是7，利用這個規律可以直接求出隱藏在底面的數，比如用7減幾的方法，這是典型的算術思維。而第二個環節的任務是要透視多個疊加的骰子，骰子的個數也不確定，每一個骰子上下面的數字又是隨機的，無法用確定數相加來得到隱藏數的和，這就需要用整體關系來解決問題，因此這是一種代數思維。兒童思維從算術思維發展為代數思維是一種躍進，對于處于具體運算階段的三年級學生來說是有一定困難的。不過，在數學實驗這種課程形態中，借助實驗材料，讓思維可視化，能讓學生的數學思維逐漸生長。

有教師可能會提出疑問：學生感覺問題有難度，教師為什么不介入引導呢？比如讓學生先從2顆骰子開始研究，全班一起來實驗，一起來發現規律，得到初步規律后再來研究3顆、4顆、5顆骰子呈現的規律，最后總結概括?；蛘咭龑W生思考怎樣算得快，進而把算式中“和是7的數對”用括號標示出來，甚至可以用紅筆把它們圈起來，這樣就能讓學生更好地聚焦規律。我們不反對這樣的教法。我們也相信如果這樣教學，教學效率一定會提高。但是，我們擔心這些引導事實上只是教師以自己的觀察和思考代替學生的思維發展，會淡化實驗的意義。我們更提倡教師以組織者的身份參與，比如提供實驗單、適時組織小組交流、延長學生的探索時間等，讓學生有充分的時間和機會去逐漸積累數學活動經驗。我們相信這樣凝聚而成的數學思維才是活化的、能舉一反三和觸類旁通的，而這正是數學實驗教學的價值所在。

（浙江省杭州市上城區教育學院附屬小學? ?310008）