導數求函數零點存在區間取點探析

■浙江省仙居中學高三(5)班 吳浩蕓

對于求解函數零點的問題，不管正向還是逆向，思路都是一致的，根據函數的導函數討論函數單調性，然后找到極值，再根據函數的零點存在定理，找到符合題目條件的情況進行分析。下面舉例說明。

例1(2018年全國新課標Ⅱ卷文)已知函數f(x)=x3-a(x2+x+1)。

(1)若a=3，求f(x)的單調區間;

(2)證明:f(x)只有一個零點。

解：(1)易知，當a=3 時，f(x)在(-∞，3-2)，(3+2，+∞)上單調遞增，在(3-2，3+2)上單調遞減。

(2)由于x2+x+1＞0，所以f(x)=0等價于

又f(3a-1)=-6a2+2a-=＞0，故f(x)有一個零點。

綜上，f(x)只有一個零點。

探析：計算f(3a+1)和f(3a-1)這一步非常巧妙，是怎么想到的呢?

例2(2017年全國新課標Ⅰ卷理)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。

解：(1)易知，若a≤0，f(x)在(-∞，+∞)上單調遞減;若a＞0，f(x)在(-∞，-ln

a)上單調遞減，在(-lna，+∞)上單調遞增。

(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點。

(ii)若a＞0，由(1)知，當x=-lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(-lna)=1-

①當a=1時，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一個零點;

綜上，a的取值范圍為(0，1)。

探析：為什么要計算f(-1)，這一步，是怎么想到的呢?

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。若a∈(0，1)時，當x→-∞時，f(x)→+∞;當x→+∞時，f(x)→+∞;在x=-lna的左右兩側探求f(x)＞0，可能的選擇很多，既要根據函數解析式，考慮取值計算容易，又要能捕捉常見的不等式。

當a∈(0，1)時，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ae2x+aex-x-2ex＞-x-2ex，很自然就會想到，如果令-x-2ex＞0，就會有f(x)＞0，就探求到了f(-1)。

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex(aex+a-2)-x。考慮到常見不等式ex≥x+1＞x，很自然就會想到，如果令aex+a-2=1，就會有f(x)=ex-x＞0，解方程得x=

例3(2016年全國Ⅰ卷文)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。

解：(1)當a≥0時，f(x)在(-∞，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增。

(2)(ⅰ)設a＞0，則由(1)知，f(x)在(-∞，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增。

又f(1)=-e，f(2)=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則f(b)＞(b-2)+a(b-1)2=a（b2-b）＞0，所以f(x)有兩個零點。

(ⅱ)設a=0，則f(x)=(x-2)ex，所以f(x)只有一個零點。

綜上，a的取值范圍是(0，+∞)。

探析：取b滿足b＜0且b＜ln，則f(b)＞(b-2)+a(b-1)2=a（b2-b）＞0，對于這一步，是怎么想到ln的呢?f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，a＞0，當x→-∞時，f(x)→+∞，所以選取的b應小于0，并且越遠離a，滿足f(b)＞0的可能性越大，可以考慮用部分控制法，請同學們嘗試一下。……