常用邏輯用語錯解“串燒”

■江蘇省鹽城市高級實驗中學

我們知道,常用邏輯用語是一種數學語言,它與我們平時的生活實際用詞之間存在一定的聯系,但也有很大的區別,如果我們忽視這些區別,就會在學習常用邏輯用語時犯錯。那么在用常用邏輯用語解題時,哪些誤區我們必須要加以提防呢?

誤區一:書寫四種命題時分不清條件與結論

例1寫出下列命題的逆命題:

(1)對頂角相等;

剖析:在(1)中,錯解沒有分清命題的條件與結論,只是把前后兩個詞語交換了位置。應該把命題“對頂角相等”先改寫成“如果兩個角是對頂角,那么它們相等”,然后再寫逆命題。在(2)中,“ab＞0”是大前提,在書寫其他三種命題時,不需作任何改寫,依然在原來的位置。

正解:(1)若兩個角相等,則它們是對頂角。

友情提示:在書寫四種命題時,經常會碰到原命題是一句話的情況,書寫前必須先分清條件和結論。存在大前提的命題,不需作任何改寫,切不可把它作為條件或結論。

誤區二:混淆“否命題”與“命題的否定”

例2寫出命題“正方形是矩形”的否命題。

錯解:否命題為:正方形不是矩形。

剖析:錯解求的是原命題的“否定”,只否定了命題的結論。而題目要求寫的是原命題的否命題,既要否定其條件,又要否定其結論。

正解:否命題為:如果一個四邊形不是正方形,那么它不是矩形。

友情提示:命題的否命題與命題的否定是改寫命題的兩種不同形式,不可混為一談。若p表示命題,￢p是命題的否定,命題的否定只否定結論不否定條件。若原命題是“若p,則q”,那么命題的否定為“若p,則￢q”;而否命題為“若￢p,則￢q”,既否定結論,又否定條件。

誤區三:忽視對關鍵詞的否定

例3命題“正方形與菱形都是平行四邊形”的否定是 。

錯解:原命題的否定是:正方形與菱形都不是平行四邊形。

剖析:原命題的關鍵詞為“都是”,這個詞的否定不是“都不是”,而是“不都是”。

正解:

其否定是:正方形與菱形不都是平行四邊形或者在正方形與菱形中,至少有一個不是平行四邊形。

友情提示:在改寫命題的否定和命題的否命題時,必須要注意一些關鍵詞語的否定。如“任意的”的否定是“存在一個”,“有些”的否定是“全部”,“一定”的否定是“不一定”,“至多有1個”的否定是“至少有2個”,等等。

誤區四:在寫否命題或命題的否定時忽視對“或”與“且”的否定

例4寫出命題“若(x-2)(x+3)=0,則x=2或x=-3”的否命題。

錯解:否命題為“若(x-2)(x+3)≠0,則x≠2或x≠-3”。

剖析:上面解法對條件與結論進行否定時,忽視了對關鍵詞“或”的否定。

正解:否命題為“(x-2)(x+3)≠0,則x≠2且x≠-3”。

友情提示:在對含有邏輯聯結詞“或”與“且”的命題進行否定時,一定要注意 “或”的否定為“且”,“且”的否定為“或”,即它們的否定是相互的。

誤區五:忽視對量詞的否定

例5命題p:對任意實數a,方程x2+ax-1=0有解,則￢p為 。

錯解:￢p:對任意實數a,方程x2+ax-1=0無解。

剖析:命題的否定雖然只需否定結論,但對于全稱命題與特稱命題時,對量詞也要否定。“任意(?)”的否定為“存在(?)”,而“存在(?)”的否定為“任意(?)”。

正解:￢p:存在實數a0,方程x2+a0x-1=0無解。

友情提示:對全稱命題與特稱命題進行否定,一般需對原命題改寫兩處:一是對全稱量詞與特稱量詞進行否定;二是對命題的結論進行否定。