一題攻克解析幾何綜合問題之弦長

■北京市順義區第一中學

每次談及高考數學,大家似乎都有同感:高中數學難,而解析幾何又是難中之難。其實只要我們平時注意多思考、多積累、多歸納,就會發現高考題中的解析幾何題型穩定,是有規律可循的。只要認真分析就能夠找到解題的方法和規律,完全可以讓高考數學中的解析幾何題,變成讓同學們很有信心的得分題目。

解析幾何中的弦長問題一般涉及證明題、定值問題、面積問題等,是一類考得最多的解析幾何題。下面我們就圓錐曲線中的弦長問題,做深入研究和探討。

(Ⅰ)求橢圓C的方程。

(Ⅱ)如圖1,設直線y=x與橢圓C交于A,B兩點,斜率為k的直線l與橢圓交于M,N兩點,與直線y=x交于點P(點P與點A,B,M,N不重合)。

(i)當k=-1時,證明:|PA||PB|=|PM||PN|。

圖1

所以|PA||PB|=|PM||PN|。

點評:求出A、B、P點坐標,代入兩點間距離公式直接計算長度之積

點評:本題考查了橢圓的標準方程,以及向量與幾何結合的一些幾何性質等基礎知識,考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力。利用法二來做第一問會大大減少運算量,明顯提高準確率。對弦長公式的熟練掌握是解決這類問題的關鍵點。

同時,要善于用長度和夾角已知的線段表示未知線段,以達到簡化運算的目的。

(1)求橢圓W的方程。

(2)過點A作直線AQ交橢圓W于另一點Q,交y軸于點R。P為橢圓W上一點,且OP∥AQ,直線OP的斜率為k。求證:為定值。

點評:通過本練習題我們可以學到兩點:①在直角三角形中長度比與坐標比的轉化關系。②直線與橢圓相交時,已知其中一個交點坐標,利用韋達定理求另一個交點坐標(這一技巧會經常在高考中應用)。

縱觀近幾年高考題,我們會發現解析幾何試題的難度,相比前些年下降了不少,選擇題、填空題均屬中檔題,且解答題不再處于壓軸題的位置,計算量在減少,但同時要看到思維量還保持著原來的層次和要求,同時加大了與相關知識的聯系(如向量、函數、方程等),凸現了教材中研究性學習的能力要求。我們有理由相信自己,只要經過努力,一定會攻克解析幾何這一難關的!