一道直線與橢圓有公共點問題的三種解法

■重慶市鐵路中學校

解法一:(判別式法)

把直線l的方程y=kx-2代入橢圓方程,消去y,整理得:

(2k2+1)x2-8kx+6=0。

評析:判別式法是處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法之一,此方法較簡單,但有時運算較復雜。

解法二:(三角代換法)

評析:通過三角代換把關于x,y的方程問題轉化為關于θ的方程問題,對于兩曲線有公共點的問題,用此方法往往能收到事半功倍的效果。

解法三:(數形結合法)

如圖1,直線l:y=kx-2恒過點P(0,-2),所以直線PA的斜率為-,直線PB的斜率為。

圖1

評析:通過數與形的結合,可以把抽象的問題具體化,復雜的問題簡單化,采用此方法可達到立竿見影的效果。