“一網打盡”常用邏輯用語中的參數問題

■江蘇省鹽城市亭湖區南洋中學

求參數的值或參數的取值范圍,是高中數學最常見的一類問題。在常用邏輯用語中也不例外,這類問題比比皆是,隨手可得,本文舉例說明,供大家參考。

一、與充分條件、必要條件有關的參數問題

這類問題主要有兩種情形,一種是根據參數的值判斷條件的充分性或必要性;另一種是根據條件的充分性與必要性求參數的取值范圍。

例1(1)對于常數m,n,“關于x的方程x2-mx+n=0有兩個正根”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

點評:(1)判斷不具備充分性或必要性,只需舉一個反例說明;(2)根據條件的充分性與必要性求參數的取值范圍問題,通常先將其轉化為含參數的集合之間的關系,進而轉化為不等式問題。

【變式訓練1】已知條件p:2x2-3x+1≤0,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0。若￢p是￢q的必要不充分條件,則實數a的取值范圍是 。

二、與邏輯聯結詞有關的參數問題

這類問題主要指已知復合命題的真假求參數的取值范圍,涉及“p∨q”和“p∧q”形式的命題。

例2(1)命題p:對任意實數x,都有ax2+ax+1＞0成立;命題q:關于x的方程x2-x+a=0有實數根。若p∧q為真,則a的取值范圍是 。

(2)已知命題p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,mx2+mx+1＞0,若p∨(￢q)為假命題,則實數m的取值范圍是( )。

A.(-∞,0)∪(4,+∞) B.[0,4]

C.[0,e) D.(0,e)

解析:(1)當p為真命題時,對任意實數x都有ax2+ax+1＞0成立。

(2)由p∨(￢q)為假命題可得p假,q真,若p為假,則ex=mx無解,可得0≤m＜e;若q為真,則0≤m＜4。由[0,e)∩[0,4)=[0,e),故選C。

點評:由復合命題的真假求參數范圍問題,一般分三個步驟:首先求出每個簡單命題為真時參數的取值范圍;再由復合命題的真假確定簡單命題的真假情形;最后根據第二步求出滿足條件的參數的取值范圍。

【變式訓練2】已知命題p:?x0∈R,(m+1)(x20+1)≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1＞0恒成立,若p∧q為假命題,則實數m的取值范圍為 。

參考答案:m≤-2或m＞-1

三、與全稱命題、特稱命題真假有關的參數問題

例3(1)若命題“?x0∈R,使得+(1-a)x0+1＜0”是假命題,則實數a的取值范圍為 。

(2)已知命題p:“x∈R,m∈R,使4x+2x·m+1=0”,若命題p為真命題,則實數m的取值范圍是 。

解析:(1)因為命題“?x0∈R,使得+(1-a)x0+1＜0”是假命題,所以它的否定“?x∈R,使得x2+(1-a)x+1≥0”是真命題,故Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3,故答案為[-1,3]。

(2)因為命題p為真命題,即方程4x+·m+1=0有實數解,所以≥2,m≤-2,m的取值范圍是(-∞,-2]。

點評:(1)已知命題為假命題,則其否定是真命題,故將該題轉化為恒成立問題處理。(2)已知命題為真命題,故將該題轉化為能成立問題處理。

【變式訓練3】已知命題“x∈R,x2-5x的否定為假命題,則實數a的取值范圍是 。

四、與全稱量詞、特稱量詞有關的參數問題

這類問題,其實就是含參數的命題恒成立問題與能成立問題,一般可轉化為函數的最值問題或值域問題來求參數的取值范圍。

(2)當x≥2時,f(x)≥3,g(x)≥a2。

點評:(1)若m=f(x)能成立,則m的取值范圍就是函數f(x)的值域;(2)若m≥f(x)(或m≤f(x))恒成立,則m≥f(x)max(或m≤f(x)min)。

A.a≤1 B.a≥1

C.a≤2 D.a≥2

參考答案:A