高考小題藏乾坤一題九解現真身

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2018年新課標全國Ⅰ卷理科第16題是一道在三角背景下求函數最小值的問題,試題設問簡潔、構思精巧。命題人的設計初衷應是考查導數在求函數最值中的應用。我們充分挖掘試題內涵,廣泛聯系數學知識,給出下面九種解法。

題目:已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是 。

1.突出導數工具作用,簡潔明快

解法一:f(x)的最小正周期為T=2π,只考慮x∈[0,2π)的情形。

評析:上述四種解法都是借助導數這一工具解答的,但處理的細節不一樣:解法一最常規,利用周期性將定義域限定在[0,2π)上,通過比較極值和區間端點處函數值的大小來確定函數最小值;解法二將定義域限定在[-π,π)上,并注意到構成函數f(x)的兩個函數y=sinx和sin2x的圖像特征,發現函數f(x)在上可取到最大值,結合奇函數的中心對稱性,得到函數f(x)的最小值,解法二可看作解法一的優化;解法三通過換元、消元將問題轉化為一個四次多項式函數,再利用導數來解決;解法四是將函數表達式平方后,通過換元將問題轉化為多項式函數解決的。

2.借力于著名不等式,巧妙構造

評析:解法五至解法七是利用四元均值不等式完成解答的。解法五和解法六都對函數解析式作了平方處理,不同點在于解法五直接配湊系數用均值不等式,解法六利用倍角公式變形后再用不等式。解法七借助萬能公式將函數解析式用半角的正切表達后直接配湊系數用均值不等式。

圖1

3.滲透數形結合思想,形象直觀

解法八:如圖1所示,在單位圓上,記三點A(-1,0),B(cosx,sinx),C(cos x,-sinx),則 S△ABC=注意到圓的內接三角形中,正三角形面積最大,于是,S△ABC=,故函數的最小值為

圖2

要使f(x)=2t取最小值,則需t＜0。如圖2所示,當且僅當圓a2+b2=1與雙曲線b=-1相切時函數f(x)取得最小值。記切點為P(a0,b0),則

評析:注意到sin2x+cos2x=1可與單位圓自然聯系。解法八深入挖掘函數f(x)的幾何意義,將其表達成單位圓內接三角形的面積來解決問題。解法九通過換元將問題轉化為單位圓與雙曲線有公共點的問題,函數f(x)的最小值當且僅當兩條曲線相切時取到。

我們看到,上述九個解法或直接研究函數本身的性態,或溝通問題與著名不等式的聯系,或構造圖形“以形助數”,無論哪種方法,都需要我們仔細分析問題的結構特征,作模式識別,從代數或幾何的角度去闡釋問題,進而創造性地解決問題。