多元表征，賦予學生數學思維自然生長的力量

程啟亮

摘 要：“表征”是對事物本質的揭示、闡明。學生的學習表征樣式是豐富的，有直觀動作表征、具體形象表征和抽象符號表征等。在數學教學中，教師要對數學素材進行多元化呈現，引導學生對數學知識進行多元化勾連，讓學生的數學思維進行多元化外顯。多元表征不僅能夠讓學生掌握數學知識的本質，而且能讓學生把握數學知識的結構。

關鍵詞：多元表征；數學思維；自然生長

多元智能理論以及認知風格理論認為，教學應該采用多元方式表征同一個學習對象，以便學生可以選擇自己擅長、喜愛的方式，構建自我表征系統，促進知識意義的內化。美國著名教育心理學家萊什認為，“學生習得一個概念必須具備三個條件：一是將數學概念放置于表征系統之中；二是在表征系統中恰當地處理概念；三是將概念放在不同表征系統中進行轉換”。善于對數學概念、定理、問題進行多元表征，是學生深刻、全面理解數學知識，靈活、獨到解決數學問題的關鍵。多元表征，能夠賦予學生數學思維自然生長的力量。

一、多元表征：內涵及其類型

所謂“表征”，《現代漢語詞典》解釋為“顯示出來的現象，表現出來的特征”。《辭海》（2009年版）上對“表征”的闡釋為：揭示；闡明。……也指事物顯露在外的征象。作為動詞，“表征”表示對事物本質的揭示和闡明；作為名詞，“表征”表示事物顯示出來的現象、特征。從心理學視角看，表征即知識或心理表征；從信息加工理論視角看，表征即是學生對外界信息輸入、編碼、轉換、存儲和提取。

美國教育心理學家布魯納認為，人類的學習主要有三種表征方式：一是直觀動作表征；二是具體形象表征；三是抽象符號表征。美國心理學家卡帕特根據表征與被表征系統關系，將表征分為四種類型：一是認知表征；二是解釋表征；三是內部表征；四是外部符號表征。美國心理學家葛登則認為，問題解決牽涉四種表征系統：一是自然語言系統；二是表象處理系統；三是符號操作系統；四是啟發執行系統。

在數學教學中，多元表征主要有外部和內部表征兩種。所謂“外部表征”，是指學生借助語言、文字、符號、具體物、圖片等形式對學習對象存在的表征；所謂“內部表征”，是指學生加工數學的心理表征，包括言語表象、視覺表象、記憶表象、思維表象等。通常情況下，只有將外部表征轉化成學生的內部表征，數學教學才能發揮應有的效用。

在數學教學中，教師以言語信息（主要包括口語、符號、圖像、文字等）和非言語信息（主要包括圖片、實物、模型等）將數學學習內容呈現給學生，經過學生的個體加工，將外部的言語或者非言語編碼以多元表征形式納入內部表征系統之中，形成學生的心象碼。在這個過程中，學生能夠完成信息的轉換和意義的建構。

二、多元表征：策略及其路徑

數學教學中通常會出現兩方面誤區：一是注重學生的動作表征，沒有引導學生由直觀操作表征向抽象符號表征過渡，學生停留于具體化階段；二是關注數學知識抽象符號表征，而忽視或者輕視了學生直觀操作或者具體形象表征，學生形式化根基不牢，過程不深刻。基于多元表征的數學教學，既要重視學生的抽象、形式表征，也要重視學生在學習過程中的感性操作。只有將多種表征融合起來，才能助推學生對數學知識的真正理解。

1. 多元化呈現，助推學生的數學理解

多元化呈現，既包括縱向多元化呈現，也包括橫向多元化呈現。所謂“縱向多元化呈現”，是指教師可以分層次、逐步地引導學生抽象數學概念、數學知識。所謂“橫向多元化呈現”，是指教師運用不同的方式，從不同的視角，運用不同的手段引導學生對數學概念、知識進行表征。經由多元化呈現，學生逐步剝離數學知識的非本質屬性，獲得對數學知識本質的理解。

比如，教學蘇教版小學數學五年級下冊的《分數的意義》，教師要呈現多種素材，比如一塊餅、一根一米長的線段、幾個正方形等，將其平均分成若干相同的份數，表示相同的份數，結果所表示的分數完全相同。盡管物體的種類不同、物體的個數不同，但由于將物體平均分成了相同的份數，表示了相同的份數，所以表示的分數就相同。接著，教師引導學生進行歸納，有學生認為將一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數；有學生認為將許多物體組成的整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數；還有學生認為將一個計量單位平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫作分數。教師在學生分門別類概括的基礎上，將一個物體、一個計量單位或者由許多物體組成的整體歸結為單位“1”，形成抽象的分數概念。在這一過程中，不同素材的表征，就是一種橫向多元化呈現，而對分數的逐步抽象、概括、形式化、定義化的過程就是縱向多元化呈現。

當然，數學學習的多元化呈現并非越多越好，而是應圍繞數學本質展開。數學的材料之間應該能夠相互映襯、相會補充、相互解釋，做到形式不同但本質相同。只有這樣，才能發揮多元化呈現應有的效用。否則，材料的多元化呈現反而會讓學生眼花繚亂，失去材料多元化呈現的初衷。

2. 多元化勾連，構建學生的認知結構

數學知識是一個有機的結構性整體。在數學教學中，教師要引領學生對數學知識進行多元化勾連，構建學生的認知結構。對于同一知識，其知識表征可能是多元的，教師要引領學生在各種表征內部以及表征之間進行靈活轉換。只有學生能夠解讀不同表征下的數學知識，才能靈活提取相關的數學知識進行實踐運用。學生數學認知結構的系統構建是學生數學知識學習轉識成智的關鍵，也是學生數學素養生成的重要標識。

比如，教學《解決問題的策略——“一一對應”》（蘇教版小學數學教材五年級上冊），有這樣一道習題：用1、2、3、6可以組成多少個不相同的兩位數？為了深化學生的數學理解，讓學生形成“既不遺漏也不重復”的有序列舉的思想方法，筆者將習題改為：用1、2、3可以組成多少個不相同的兩位數。不同的學生用不同的方式進行思考，有學生固定個位，然后變換十位，如21、31，12、32，13、23；有學生固定十位，然后變換個位，如12、13，21、23，31、32；還有學生用組合交換位置法，如13、31；12、21；23、32。接著，筆者從兩個維度，對這樣的習題予以內涵拓展。一是從縱向上拓展，即在3個數的基礎上，增加延伸到4個數、5個數，讓學生運用相關的方法進行列舉；二是從橫向上拓展，即創設不同的情境，讓學生體驗，比如三個小朋友兩兩拍照、三個小朋友兩兩寄賀卡等。同時，將拍照、寄賀卡、握手、踢足球等相關的問題進行比較。這樣的多元化勾連，其目的就是敏銳、深化學生的數學認知，讓學生形成對數學知識的本質認識，構建、完善學生的認知結構。

數學多元化勾連，不僅豐富了數學知識的形成過程，更有助于學生從不同的視角對數學知識的內涵形成本質性理解，對數學知識的外延精準掌握。在多元化勾連的活動中，豐富學生的數學活動經驗，提升學生的數學思想和方法，讓學生完成對數學知識的本質建構。

3. 多元化外顯，引發學生的思維可視

多元化表征不僅是對數學學習對象的內化表征，也包括將學生的心理圖像進行多元化外化過程。學生的數學思維是看不見的，是一個“黑匣子”，一個“黑洞”。如何將學生看不見的思維可視化，讓學生的內部言語外顯化，一個重要的方式就是讓學生進行自我學習表征。從表征內容上看，外顯的豐富性能夠讓學生相互間切磋、交流；從表征方法上看，表征轉換、轉譯有助于學生邏輯與非邏輯思維的互補；從表征過程上看，只有內化和外化相融合的表征，才能構成學生的生態學習循環系統。多元化外顯，讓學生的數學學習真正發生。

比如，教學《因數與倍數》（蘇教版小學數學教材五年級下冊），教材中是讓學生用擺方格的方法來建構12是3的倍數、12是4的倍數，3是12的因數、4是12的因數的。誠然，這樣能夠讓學生知道哪個數是哪個數的因數、哪個數是哪個數的倍數，但部分學生并沒有深刻理解。因為，不同的學生對數學知識的表征是不同的，某些表征能夠助推學生的數學理解，但某些表征卻不能發揮其應有的效用。筆者在教學中從學生的已有知識經驗入手，引導學生進行數學思考。“12是3的4倍，12是4的3倍，這是為什么呢？”于是，不同的學生基于各自的內部心理表征，形成了不同的外部表征。如有學生畫出線段圖，用幾倍的關系進行解釋；有學生畫出集合圖，用包含除的方法進行表征；有學生將12個圓圈均分，從平均除的角度進行解釋；有學生認為4個3相加等于12，從乘法的意義角度進行解釋；還有學生認為從12里面減去3，要減4次，從12里面減去4，要減3次，從除法的原始意義角度進行解釋，等等。不同的解釋呈現于同一個互動空間，引發學生的積極交流。如此，學生將自己的不可見的思維可視化，將不可言說的數學理解可感化，將抽象的數學概念具象化，從而達到了個性化理解、建構的目的。

外顯表征有力地促進了學生數學知識的意義理解、建構，增強了學生數學觀察能力、發現能力和問題解決能力、數學應用意識的發展，培育了學生綜合性思維能力的發展，提升了學生的數學核心素養。在這個過程中，學生不僅感受到數學知識的現實性，而且能夠體驗到數學知識、方法和思想的應用性。

在數學多元表征過程中，一方面，教師要研究數學知識的特質；另一方面，教師要遵循學生的認知規律，引導學生經歷數學知識的發現、探究歷程。一個數學知識的表征是多元的，各種表征之間也存在著千絲萬縷的關聯。在數學教學中，教師要運用表征，引導學生既把握數學知識的本質，也把握數學知識的關聯。只有這樣，學生才能真正理解、把握數學知識。