關于等差等比數列的組合數列前n項和

羅彪

1 研究背景

高中學生在學習了人教版普通高中數學課程標準實驗教科書必修5第二章數列的內容后，初步掌握了等差數列和等比數列前n項和公式S_n，學生已經熟知了倒序相加法、遞推公式法、錯位相減法等求數列前n項和S_n的方法，基于學生已有的學習經驗，大多數學生能單獨地進行等差、等比數列的題目解答，但對于由等差數列與等比數列組合成的混合數列（差比數列）的解答尤為困難，缺乏對教材內容的深入理解，聯系和發現問題的能力較差，學生在學習過程中，只注重結果而忽視了過程，即只注重公式的記憶，而忽視推導過程.

分析 基于這道題目（1）（2），計算相對容易，大多數學生基本都能把它們拆分成等比數列與等差數列的和差形式，但題目（3）相對較難，多數學生無從下手，其原因是在學習等比數列的前n項和公式中忽視推導過程，只是停留在公式的記憶，缺乏如等比等差數列再創造，構建諸如等差等比數列的新模型.

這里基于高中學生已有的等差等比數列，學習的最近發展區是構建差比積（商）數列，再提出差比型數列，其學習知識的過程是：等差數列等比數列一差比積（商）數列一差比型數列.

5 啟發

本文是從兩個基本數列的學習出發，沿用等比數列的前n項和公式的推導方法，形成差比數列的求和公式的推導，其意義在于從學生已有的認知出發，培養學生的邏輯推理能力和計算能力，克服學生學習的心理障礙，

第一，通過題目（1）～（3）的習題訓練，創設情境，讓學生在該題目情境中理解（差比積商數列）數學概念和構建過程，感悟問題的本原和數學表達的意義，

第二，大多數學生會把辛辛苦苦記住的那些數學概念、證明方法以及解題技能逐漸忘掉，因此，在基礎教育數學教學過程中，在注重數學概念、技巧和技能的基礎之上，更當注重讓學生感悟一些東西、積累一些經驗讓學生終生受益，

第三，注重技巧，更當注重過程，過程應當是學生教師引導學生在獨立思考中形成思維的習慣;會在錯綜復雜的事物中把握本質，進而培養抽象能力;會在雜亂無章的事物中理清思緒，培養推理能力;在事物中發現規律，培養建模能力，

總之，把握本質培養抽象能力，理清關系培養邏輯能力，發現規律培養建模能力，這也是高中數學核心素養所要求的.