轉化思想在橢圓中的應用舉例

謝盛富

《考試說明》[1]指出，轉化思想是在研究和解決問題時借助數學知識和數學方法，將問題進行轉化，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，未知問題已知化，進而達到解決問題的目的，還指出，它是解決數學問題時經常使用的基本思想方法，是高考考查的重點，它的主要特點是靈活性與多樣性，我們可以根據問題的要求，尋找合適的轉化途徑和方法.

涉及直線與曲線的位置關系時，我們習慣聯立方程組，整理得到關于x（或y）的一元二次方程，再利用韋達定理求解問題，這是解題常用的套路.即使不會往下做，在考試中也能得到一定的分數，本質上，這也是借助韋達定理達到“設而不求”的一種轉化策略，本文以橢圓為例，從其它角度體會轉化思想在圓錐曲線中的應用.

評析 將“求△NPQ的面積”轉化為“求AOPQ的面積”，避免了求動點N到動直線PQ的距離（兩個“動”），而是求定點0到動直線PQ的距離（一個“動”），減少了不必要的繁雜運算，可謂是以靜制動.

上述3道例題很好地闡述了轉化思想在圓錐曲線中的應用價值，在判斷直線與圓的位置關系時，轉化為圓心到直線的距離與半徑的大小進行比較，此外，立體幾何、函數與導數、三角函數、數列、向量、不等式和方程等知識模塊也經常考查轉化思想，“隱”轉化為“顯”，“暗”轉化為“明”，“數”轉化為“形”等，從不同角度看問題，達到化繁為簡的目的，可見轉化思想是解題的一種重要思維方法，同時也伴隨著數學抽象、邏輯推理、數學運算和數據分析等數學核心素養，數學思想與方法是解題的一把利刃，在其引領下，以數學基礎知識為依托，開拓學生視野，提高解題技能，豐富數學理解，激發學習潛能，鍛煉思維品質，培養學習能力和創新能力，提升個人素質.

參考文獻

[1]教育部考試中心.2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（文科）[M].北京：高等教育出版社， 2017