一題多解 觸類旁通

黃晚霞

解決問題是數學的核心，新課程標準重視對問題解決能力的培養，明確提出了課堂教學要形成解決問題的一些基本策略，讓學生通過問題解決的活動過程體驗方法、形成策略，讓學生“經歷從不同角度尋找分析問題、解決問題方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性”.

作為一線教師，我們應當鼓勵學生一題多解，使學生把所學的知識和方法有機結合、觸類旁通，以達到對問題的全面理解，進而迅速準確的解決問題，由此大大提升學生分析問題和解決問題的能力，讓學生從多角度、多方位去分析問題、解決問題，學會一題多解，以達到觸類旁通，學一道題，會一類題的效果，也可以培養學生靈活、敏捷的思維能力，開闊學生的視野，讓學生收獲成功的喜悅.

本文以福州市2017-2018學年上學期九年級期末考試數學試卷填空題的第16題為例，談談在解題中如何從不同角度巧妙構思，挖掘題目內涵，觸類旁通，開辟解題新途徑，通過一題多解的訓練，培養學生的發散性思維及聯想能力，學會用不同的知識解決同一個問題，以加深對知識之間橫縱發展的認識，同時在問題解決中培養學生的數學核心素養.

問題呈現 如圖1，在△ABC中，AB：AC=7：3，∠BAC的平分線交BC于點E，過點B作AE的垂線段，垂足為D，則AE：ED=____.

本題題目看似簡單，其實內涵豐富，從結論“求線段的比”出發，常規方法構造平行線或相似三角形，本題的核心問題是：如何構造平行線、相似三角形，以轉化線段之間的比例關系？從已知條件出發，如何應用角平分線、垂線？本題值得我們關注的是：如何尋找解決問題的切入點？是否能綜合利用多種知識，探索更多的解決問題的途徑.

1 應用角平分線、垂線構造等腰三角形模型

關注已知條件，如何應用角平分線、垂線？能否利用題目告知的條件AD平分∠BAC，AD⊥ BD，構造等腰三角形？

1.1 構造等腰三角形△ABF，再利用平行線求線段比例

如圖2，分別延長BD，AC交于點F，構造等腰三角形△ABF，根據等腰三角形性質可知AB= AF，已知條件“AB：AC=7：3”可轉化為“AF：AC =7：3”，結合AE， ED，AC， AF的位置，容易聯想到借助平行線、相似三角形把這些線段的比例聯系起來.

法1如圖3，分別延長BD，AC交于點F，

則△ABF是等腰三角形.

2.2 利用直角三角形斜邊上的中線，構造平行線

已知條件“AD⊥ BD”可知△ABD為直角三角形，如何應用直角三角形性質？如何構造平行線？

法6如圖8，取AB中點F，連接DF交BC于點G.根據直角三角形性質“斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可巧妙構造AF= DF，即AAFD為等腰三角形，再根據AD是∠BAC的角平分線，所以AC∥DF.以此，達到構造平行線的目的，同時構造中位線，利用三角形相似對應邊成比例來解題.

本題用7種方法詮釋了波利亞把“弄清問題”分成兩個階段，即“熟悉問題”和“深入理解問題”，有助學生形成良好的思維策略、觸類旁通，有的方法大同小異，追本溯源，殊途同歸，有的方法截然不同，縱觀本題各種解法，都可以順藤摸瓜，追尋根本，探索到源頭之上，如構造等腰三角形，再利用平行線求線段比例;或直接構造平行線;如利用角平分線特點;再如利用直角三角形斜邊中線等;或利用面積法，避開平行線、相似三角形求線段的比例，面積法也是轉化線段比例關系的一個巧妙方法;若根據角平分線定理“三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例”也行.

數學解題的直覺，靠的不單是剎那間的開竅頓悟，更靠日常學習中的積累與漸悟，教學中，我們應當鼓勵學生善于從不同角度觀察、思考問題，善于總結問題的本質，善于抓住知識之間的橫縱發展，勇于探索是形成數學解題直覺的關鍵，通過該問題的解法的探究，發展學生邏輯推理、數學模型、數學運算等核心素養的.

教學上，教師要精選典型習題，利用典型習題本身蘊含著非常豐富的知識內容及知識間的橫縱向聯系，培養學生綜合運用知識、方法去分析問題、解決問題，達到觸類旁通，學一道題，會一類題，在一題多解的訓練中，不僅是思維靈活性得到了培養，更重要的是視野開闊，還有收獲成功的喜悅.