柯西積分公式的推廣及應用

王振華，張為元，賀 雯

（咸陽師范學院 數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000）

柯西積分公式是計算復變函數積分的有力工具，它揭示了解析函數在定義域的界點和內點上值之間的關系，可以把對解析函數的研究轉化成對柯西型積分的研究。代數學基本定理用純粹代數的方法是不容易證明的，但如果從高階的柯西積分公式著手，則證明過程簡潔易懂[1]125。因此，柯西積分公式在理論研究和積分計算上都很重要，一直是專家學者研究的熱點。朱茱等[2]介紹了柯西主值積分和Holder條件，并給出了奇點在積分路徑上的柯西積分公式，但沒有給出公式的證明；易才鳳等[3]舉例說明了柯西積分公式在復數計算中的應用；劉志宏[4]給出了積分曲線內含有多個奇點時的柯西積分公式，但僅局限于奇點是m階極點的情況；吳立鶴等[5]將分子函數分別在其奇點處展開成羅朗級數，并選取展開式的主要部分，再將被積函數的奇點代入求函數值，巧妙地避免了計算復雜的高階導數的情況；趙天玉等[6]進一步將吳立鶴等人的結果進行了推廣。張健[7]介紹了柯西積分公式在實變函數中的應用,極大簡化了無窮積分和瑕積分的計算；王曉嬋等[8]針對現有的血管分割方法誤差較大的問題，提出了一種新的基于八元數柯西積分公式的血管分割新算法。趙曉輝等[9]利用柯西積分公式證明了在偏微分方程中有重要應用的泊松積分公式。本文從3個不同角度出發，分別在復周線、高階形式、無界域上推廣了柯西積分公式，極大地簡化了具有多奇點的復積分計算問題。……