在復數的教學實踐中培養學生的數學核心素養

徐康

摘要：高中課程標準修訂組根據高中數學學科的課程目標、教育價值、學科特點給出了高中數學六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。它體現了學生在學習高中數學知識的教育過程中逐步形成的適應個人未來發展與社會發展需要所必需的品質與能力。筆者以高中復數教學為切入點，從復數相關知識入手建構學生的數學核心素養體系。

關鍵詞：復數；核心素養；教學實踐；思維能力

復數是高中數學中涉及面廣、知識跨度大的內容，它與代數、幾何、三角等有著密切的聯系。雖然近幾年高考出現的復數題較為簡單，但是通過復數教學，能促進學生多種思維能力的提高。本文結合平時的教學實踐，談談在復數教學中如何培養學生的數學核心素養。

一、培養嚴謹的數學運算能力

嚴謹性是數學學科的特點，它要求數學結論的敘述必須精煉、準確，對結論的推理論證周密、條理。嚴謹的數學運算是學生良好數學素質的一個重要組成部分。而復數中培養學生嚴謹的數學運算的素材很多，如：在實數集內建立的一些運算法則、公式等在復數集內是否仍然成立；復數的三角形式：r（cosθ+isinθ）必須具備的條件；在復數集內對于一元二次方程ax2+bx+c=0，其判別式對于方程根的判別是否適用；解某些復數問題能否兩邊同時取模等。因此，教學時，可通過一些錯解辯析，有意識地布置“陷阱”，來培養學生的嚴謹的運算能力。

例 1 已知|z|=1，且z（z·z+1）=1，求復數z.

筆者在一堂習題課中，發現大部分同學運用了如下的取模方法解答，且認為是較簡便的方法。針對這一情況，有必要再舉類似的例子，讓同學們討論辯析。這樣一來，同學們不但掌握了正確的解法，同時還培養了嚴謹的思維能力。

評析：首先肯定解答所得的結果是對的，但在解題過程中采取了在等式兩邊取模的做法值得商榷。因為這種做法一般不都是正確的。在一個等式兩邊取模所得到的等式與原等式一般不等價。

二、培養發散的數學建模能力

發散思維是一種不依常規尋求變異、多方面尋求答案的一種思維方式，它具有流暢、變通、獨特等特征。復數教學中，引導學生一題多解、一題多變、一題多用，可以培養學生的發散思維能力。

例2 已知復數m、n滿足|m|=3，|n|=4，且|m-n|=5，求|m+n|的值.

解1 設m=a+bi，n=c+di，由|m-n|=5兩邊平方得ac+bd=0，|m+n|=5.

解2 設復數m、n 的三角形式，之后類同與解1

解3 運用復數的幾何意義求解

通過上述多種解法，可使學生了解復數求值的一些常用方法，同時可使學生進一步掌握復數有關公式、復數的幾何意義。

趁熱打鐵，引導學生觀察原題的條件與結論，在上述解答的啟發下保持條件，改變結論，得到更多的好題，再通過上述這些問題的處理，學生的發散的數學抽象能力會進一步得到訓練。

三、培養逆向的數學抽象能力

在復數教學中，注意逆用有關概念、公式，逆用復數的有關幾何意義等等，有助于培養學生逆向的數學抽象思維。

例3 設a為非負數，z為復數，解方程z·z+2|z|=a.

據筆者所教班級學生解答來看，學生大都采用“轉化”的方法來求解，即將復數分離成實部和虛部，在利用復數相等的條件，列出有關條件的實數等式。但是事物都是一分為二的，這種轉化有時會使問題變得復雜繁瑣。逆其道而行之，即把復數z看作一個整體，利用“整體化處理”，便能化難為易。這也是處理復數問題的一種重要方法。

四、培養創造性的邏輯推理能力

復數這一章中，有不少習題往往是某一問題的特例。教學時，積極引導學生對這些特例作適當引伸、推廣，尋找一般規律，培養其探究和創造能力。

例4 已知m、n為復數，m·n=0，求證m、n中至少有一個是零。

筆者在一次習題課中，通過一題多解，進而引導學生作了如下引伸、推廣和應用，激發了學生的學習興趣，取得了良好的教學效果。

問題 設a，b，c，d等若干個數均為復數，且a·b·c·d······· =0，則a，b，c，d等復數中是否至少有一個是零呢？

探索：|a·b·c·d···|=|a|·|b|·|c|·|d|····，又a·b·c·d·······=0，故|a|·|b|·|c|·|d|····=0，

即a，b，c，d等復數中是否至少有一個是零，反之顯然成立。

五、培養觀察、聯想的直觀想象

解題時，仔細觀察、聯想，可以把握住題目的特點，發掘題目中的隱含條件，發現解題思路，從而獲得題目的最佳解法。由于復數中有著數形結合的特征，有著整體化處理的方法，這就為培養學生的觀察、聯想、思維能力提供了方便。

例5：已知m與n是非零復數，且|m+n|=|m-n|，求證：m/n的平方一定是負數。

本題按常規解法是設m、n為代數形式或三角形式來求證。

然而這兩種運算都比較繁瑣。若引導學生觀察題設的條件及結論的形式，從條件的|m+n|=|m-n|作變式1：|（m/n）-1|=|（m/n）+1|進行整體處理，則可化繁為簡，化難為易。

到此可以引導學生學生從不同角度去聯想

聯想一：聯想復數公式（Z·Z的共軛復數=|Z|·|Z|）

由變式1兩邊平方整理得m/n為純虛數，故m/n的平方一定是負數。

聯想二：聯想復數的幾何意義由變式1可知m/n的軌跡是與點（-1，0）、（1，0）等距離的點集，顯然是y軸（除去原點），即m/n為純虛數，故m/n的平方一定是負數。

聯想三：復數模的有關概念

設m/n=x+yi，由模的定義兩邊平方可得：x=0，即m/n為純虛數，故m/n的平方一定是負數。

參考文獻：

[1]曲一線，5年高考三年模擬[M].北京：首都師范大學出版社，2016

[2]郭其俊.利用教科書中的問題，建構有價值的數學探究.中學數學教學參考，2004 （10）