淺談初中代數(shù)式最值的求解技巧

（福建省泉州市第七中學(xué)金山校區(qū) 福建泉州 362000）

在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問題，如花費(fèi)最低，面積最小，產(chǎn)值最高，獲利最大等。近年來各地中考題中最值問題更是頻頻出現(xiàn)，問題背景新穎，常出現(xiàn)的最值問題有應(yīng)用題、幾何動(dòng)態(tài)、函數(shù)最值等。在初中數(shù)學(xué)競賽中整式、分式、二次根式、函數(shù)、多元方程等形式也常求某個(gè)變量或特殊結(jié)構(gòu)代數(shù)式的值。最值問題構(gòu)題精妙，牽涉的知識(shí)點(diǎn)多，解題方法靈活多變。下面就本人在初中階段的教學(xué)談?wù)勢^常見的最值問題的求解方法，以便大家舉一反三。

一、直接代入計(jì)算，窮舉獲取法。

例1：已知點(diǎn)A（1，a），B（-2，b），C（0，c）都在函數(shù)y=1-x的圖像上，求a,b,c的最大值。

分析：將三個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式，易知a= 0,b= 3 ,c=1，所以a,b,c的最大值是3

二、建立函數(shù)模型求最值：利用函數(shù)圖像的增減性。

初中階段的重點(diǎn)函數(shù)是一次函數(shù)與二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決應(yīng)用性問題的最值，要注意先引入變量，列出函數(shù)關(guān)系式，尤其要注意求出自變量的取值范圍及區(qū)間范圍對(duì)最值的影響。在例1中可知一次函數(shù)y=1-x中，所以由一次函數(shù)圖像的性質(zhì)知y隨著x的增大而減小，又因?yàn)?2＜ 0 ＜1，所以b＞c＞a，所以a,b,c的最大值是b，再求出b=3。2018年福建中考數(shù)學(xué)第23題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的區(qū)間最值。

解析：第（1）步易由一元二次方程求解

第（2）步，設(shè)AD＝x米，矩形菜園ABCD的面積為S平方米，

學(xué)生易忽略A D≤a這個(gè)條件的限制，很多考生忘了分類討論。①當(dāng)a≥50時(shí)，由于拋物線開口向下，頂點(diǎn)為（50，1250）且x≤a，所以當(dāng)x= 50時(shí)，S 最大值是1250平方米；②當(dāng)0＜a＜ 50時(shí)，則0＜x≤a在對(duì)稱軸x=50的右側(cè)，此時(shí)S隨著x的增大而增大，所以當(dāng)x=a時(shí)，

S最大＝

本題不僅考參查了二次函數(shù)的最值，而且考查了學(xué)生的分類討論能力、對(duì)參數(shù)范圍的理解，值得老師與學(xué)生高度重視。

三、用根的判別式法，在方程有解的條件下求最值

例3：在2017年福建中考數(shù)學(xué)第25題壓軸題中問題的核心是：已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0）及另一個(gè)交點(diǎn)N，且a＜b.求△QMN面積的最小值。又求得點(diǎn)M（1，0），點(diǎn)

初中學(xué)生對(duì)含有分式形式的代數(shù)式的最值是很陌生的，如何引導(dǎo)他們在能力范圍內(nèi)解決這個(gè)問題呢？可以借助“主元思想”、“去分母”技巧，化分式為整式方程，整理得（★），把它看成以a為主元的一元二次方程，a有實(shí)數(shù)解，所以

四、利用配方法及基本不等式、因式分解等代數(shù)式的恒等變形技巧解決最值。

1.利用基本不等式、配方思想求最值。

例4：設(shè)a,b,c為正數(shù)，且abc(a+b+c)=4，則(a+b) (b+c)的最小值。

解析：

由此可以想到：

解：法一：將y看成參數(shù)，按x作降冪排列，再配方。

當(dāng)且僅當(dāng)y= 1 ,x=0，原式取到最小值-1

用配方法求代數(shù)式的取最小值，要注意兩個(gè)完全平方式能否同時(shí)為0，即最小值能否取到。

法二：（本題也可以用根的判別式法）

設(shè)t=x2+x y+y2-x-2y，整理成關(guān)于x的一元二次方程x2+(y-1)x+y2-2y-t=0，

則Δ=(y-1)2-4(y2-2y-t)=-3y2+6y+1+4t≥0，

2.利用解多元方程組、不等式的性質(zhì)求最值

解析：由x1,x2,x3, … ,xn都是整數(shù)，且-1≤xi≤2(i= 1 ,2,3…,n)可設(shè)這n個(gè)整數(shù)中有a個(gè)-1，b個(gè)1，c個(gè)2，

得2b+6c=118，即b+ 3c=5 9，

解得b=5 9 - 3c,a=-c+4 0（0≤c≤ 1 9）

所以1 9≤w≤133

當(dāng)c= 0,b= 5 9,a=4 0時(shí)，w的最小值是19；當(dāng)c= 1 9,b= 2,a=2 1時(shí)，w的最小值是133

3.用換元法、待定系數(shù)法、韋達(dá)定理、因式分解等技巧求競賽中的最值問題。

例7：設(shè)x,y都是正整數(shù)，且有的最大值。

解析：依題意知x-116,x+100,y都是整數(shù)，所為x- 1 16 ,x+100必為整數(shù)，設(shè)x-116 =m2,x+100=n2(m＜n，且m,n都是正整數(shù)），因式分解得(n+m) (n-m)=216=4×5 4=2×108，所以當(dāng)m+n=108時(shí)，y有最大值，且最大值是108

例8：若實(shí)數(shù)x,y,z滿足，求z的最大值。

解析：

由x+y= 5 -z,

x y=3-(y z+z x)=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z2- 5z+3，所以運(yùn)用韋達(dá)定理構(gòu)造二次方程a2-(5-z)a+(z2-5z+3)＝0，因?yàn)閍有解，所以Δ=(5-z)2-4(z2-5z+3)=3z2-1 0z-1 3≤0，

五、用放縮法求代數(shù)式的最值

這種方法在在高中數(shù)學(xué)中用得較多，這里就不再舉例說明。

從以上分析論述可知：最值問題的解決并不是絕對(duì)孤立不變，有時(shí)可以一題多解；有時(shí)需要多種方法一起使用才能靈活解決問題。解題時(shí)，要仔細(xì)觀測代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以便選擇合理的解題方法，做到快速解題。同時(shí)要說明最值在什么情況下可以達(dá)到，以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)慣。