方程的根與函數的零點教學設計

荊佩

摘要：隨著新課標的不斷發展和深化，高考對學生綜合素質的考察越來越重視，一些高等數學的概念也逐漸融入到高中數學課程中，而方程的根與函數的零點問題便是其中之一.本文采用函數與方程、轉化與化歸和數形結合的數學思想詳細闡述了解決函數零點分布、零點個數和兩個函數交點的問題.

關鍵詞：方程；函數；教學設計

學科年級：高一數學， 教材版本：人教A版

教學內容

本節課將從方程的根與函數圖像與x軸交點的橫坐標的關系，導出函數零點的概念；以及求函數零點的兩種方法：代數法和幾何法。以實例存在零點的特點，探究在某區間上圖像連續的函數存在零點的判定方法；體現了從具體到一般的認知過程，培養概括歸納的能力。

教學過程

一、練習

練習1.求下列方程的根

練習2.畫出相應函數的圖像

問題1.通過觀察分析上面的兩個練習，你能概括方程的根與函數圖像與 軸交點橫坐標有何聯系？教師組織學生獨立思考完成練習，分小組檢查討論所提出的問題。并派出一個代表回答問題。 從方程的角度叫根，從圖像的角度叫橫坐標，從函數的角度它應叫什么呢？

二、給出函數零點的定義

三、你能快速回答練習2函數的零點嗎？引出函數零點需要注意的三點：第一點，函數的零點是實數并不是點。第二點，并不是所有的函數都有零點。第三點，若函數有零點則零點一定在函數的定義域內。學生思考，并指定學生回答。

通過上面的學習知道方程的根，圖像與 軸的交點與函數的零點三者之間是等價的。

問題2：總結求函數零點的方法？學生思考討論得出結論：一，代數法。二，幾何法。

四、練習3

（1）

（2） 在應用的過程中進一步理解和掌握求函數零點的方法， 學生獨立思考，并讓學生簡單說明解答的過程。

五、問題3：已知直線 ，兩點A、B且A、B分別在 的異側，問A到達B與 一定相交嗎？接下來我們探究函數在閉區間上零點的存在性， 進一步引導學生也就是說如果 軸上方和下方分別有一個點A、B，過A和B的連續函數圖像與 軸一定相交。

六、給出閉區間的函數零點存在定理， 引導學生探索歸納總結用數學語言描述函數零點存在定理，培養學生的歸納總結能力和邏輯思維能力， 回歸練習2的圖像并且限定 的范圍

分析函數在區間端點上函數值的符號情況，與函數的零點是否存在著一定關系。

七、結合練習2函數的圖像，回答以下問題

探究1：如果一個連續函數 滿足 ，那么函數 內一定存在唯一的零點嗎？

探究2：如果一個連續函數 滿足 ，那么函數 內滿足什么條件存在唯一的零點呢？

探究3：如果一個連續函數 不滿足 ，那么函數 內一定不存在零點嗎？

探究4：如果一個連續函數 存在零點，那么函數 內一定有 嗎？

探究5：如果函數 上的圖像不是一條連續不斷的曲線，那么函數 內有零點一定有 嗎？

啟發學生思考，激發學生學習興趣，歸納函數零點存在性定理的兩個條件。

小結歸納，知識升華

讓學生在小結中明確本節課的學習內容，強化本節課的學習重點，并為后續學習打下基礎。所以在這一部分我的設計意圖是回顧知識，拓展深化。（1）本節課我們主要學了什么？（2）用到了那些數學思想和解題技巧呢？

參考文獻：

[1]例說巧解方程的根與函數的零點問題[J].黃海燕.數理化解題研究.2017（07）

[2]方程的根與函數零點的教學分層設計與反思[J].甘綺雯.數學學習與研究.2016（17）