六種方法助力 數(shù)列求和省力

福建 湯小梅

數(shù)列求和是新課標高考的一個必考的重點和熱點，多為解答題，有時也以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，多為中檔題，主要考查考生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．現(xiàn)走近2018年高考題與各省市質(zhì)檢題，借“題”發(fā)揮，挖掘數(shù)列求和題的六種方法，讓您對數(shù)列求和的命題角度與應對方法宏觀把握、了然于胸．

命題角度1 用公式法求數(shù)列的和

【典例1】(2018·全國卷Ⅱ·理17文17)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=-7，S3=-15．

(1)求{an}的通項公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

【點睛】先設{an}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式，得d的方程，解方程，求出d的值，從而得{an}的通項公式；(2)利用(1)與等差數(shù)列的前n項和的公式，求出Sn，再利用配方法，即可求出Sn的最小值.

【解】(1)設{an}的公差為d，由題意得S3=3a1+3d=-15，

又a1=-7，解得d=2.

所以{an}的通項公式為an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.

【解題技巧】破解此類題只需雙招，第一招：公式關，等差數(shù)列的5個基本量a1,d,an,n,Sn，一般可以“知三求二”，通過等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式，列出方程(組)，即可求出所需求得的量；第二招：配方關，即會利用配方法求等差數(shù)列前n項和的最值．

命題角度2 用裂項相消法求數(shù)列的和

【典例2】(2018·廣東省六校高三第二次聯(lián)考·理17)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a2=4,S5=30，數(shù)列{bn}滿足b1+2b2+…+nbn=an.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設cn=bnbn+1，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

【點睛】(1)設數(shù)列{an}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式，得a1,d的方程組，解方程組，求出a1,d的值，即可得數(shù)列{an}的通項公式；(2)先求出數(shù)列{bn}的通項公式，再求數(shù)列{cn}的通項公式，利用裂項相消法，即可求出數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

解得a1=2,d=2，故數(shù)列{an}的通項公式為an=2+2(n-1)=2n.

(2)由(1)可得b1+2b2+…+nbn=2n①，

所以當n≥2時，

b1+2b2+…+(n-1)bn-1=2(n-1) ②，

【解題技巧】求解此類題需過“雙關”：一是通項關，即會利用求通項的常見方法，求出數(shù)列的通項公式；二巧裂項關，數(shù)列的通項公式準確裂項，表示為兩項之差的形式；三是消項求和，即把握消項的規(guī)律，求和時正負項相消，只剩下首末若干項，達到準確求和．

【變式訓練2】(2018·漳州市5月高三質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S2=2，S4=16，{an+1}是等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

【解】(1)設等比數(shù)列{an+1}的公比為q，其前n項和為Tn，

因為S2=2，S4=16， 則T2=4，T4=20，

命題角度3 用分組求和法求數(shù)列的和

將一個數(shù)列分成若干個簡單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等)，然后分別求和.也可先將數(shù)列通項拆開，看成等差或等比的加減運算形式，再分組求和，即把一個通項拆成幾個通項的形式，方便求和.

【典例3】(2018·天津卷·理18) 設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列. 已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)設數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn(n∈N*)，

(ⅰ)求Tn；

【解】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q.

由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.

因為q>0，可得q=2，故an=2n-1.

設等差數(shù)列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，可得b1+3d=4.

由a5=b4+2b6，可得3b1+13d=16, 從而b1=1,d=1, 故bn=n.

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n.

【解題技巧】破解此類題的關鍵：一是活用“基本量法”，若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”，首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”，在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時，常用等差(等比)的通項公式及其前n項和的公式；二是活用公式法、分組求和法與裂項相消法求數(shù)列的前n項和．

【變式訓練3】已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d，且不等式ax2-3x+2<0的解集為(1,d)．

(1) 求數(shù)列{an}的通項公式an；

(2)若bn=3an+an-1，求數(shù)列{bn}前n項和Tn．

(2)由(1)知bn=32n-1+2n-1-1,

∴Tn=(3+1)+(33+3)+…+(32n-1+2n-1)-n

=(31+33+…+32n-1)+(1+3+…+2n-1)-n

命題角度4 用錯位相減法求數(shù)列的和

錯位相減法是指已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn時，先對Sn乘以等比數(shù)列{bn}的公比，再錯開位置，把兩個等式進行相減，從而求出Sn的方法．錯位相減法是所有求和方法中最重要的方法之一，也是高考的熱點．應用時需小心：相減時注意最后一項的符號；用等比數(shù)列的前n項和的公式求和時注意項數(shù)別出錯．

(1)求an；

【點睛】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，利用等差數(shù)列的前n項和的公式與通項公式，即可求出d，從而求出an；(2)利用(1)的結(jié)論，求出bn的通項公式，再利用錯位相減法求Tn.

【解】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，

所以a10-a5=10,所以5d=10，解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n；

所以Tn=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+2①，

所以2Tn= 1×24+2×25+3×26+…(n-1)·2n+2+n·2n+3②，

所以Tn=(n-1)×2n+3+8.

【解題技巧】運用錯位相減法求和的關鍵：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}一個為等差數(shù)列，一個為等比數(shù)列；二是錯開位置，如【典例3】的“②”式，先乘以公比2，再把前n項和退后一個位置來書寫，這樣為兩式相減不會看錯列做準備；三是相減，相減時定要注意“②”式中的最后一項的符號，學生常在此步出錯，定要小心．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

當n=1時，4S1=(a1+1)2，得a1=1．

當n≥2時，4Sn-1=(an-1+1)2，

∴4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2，

∴4an=an2+2an-an-12-2an-1，

即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)，

∵an>0,∴an-an-1=2．

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且首項為a1=1，公差為2，

∴an=1+2(n-1)=2n-1．

命題角度5 用并項求和法求數(shù)列的和

用并項求和法求數(shù)列的和是指把數(shù)列的一些項合并組成我們熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列來求和. 并項求和法常見類型：一是數(shù)列的通項公式中含有絕對值符號；二是數(shù)列通項公式中含有符號因子“(-1)n”．

【點睛】由三角函數(shù)的特征，對n進行分類討論，再利用并項求和法，求出{an}的前100項和．

【解】設k∈N*,(1)當n=2k時，a2k+1=-a2k+4k，即a2k+1+a2k=4k；

(2)當n=2k-1時，a2k=a2k-1+4k-2；

聯(lián)立(1) (2)可得，a2k+1+a2k-1=2,所以數(shù)列{an}的前100項和為

S100=a1+a2+a3+a4…+a99+a100

=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)

=(a1+a3+…+a99)+[(-a3+4)+(-a5+4×2)+(-a7+4×3)+…+(-a101+4×50)]

=25×2+[-(a3+a5+…+a101)+4×(1+2+3+…+50)]

=5 100.

【變式訓練5】已知數(shù)列{an}滿足an+1=(-1)n(3an-1+1)+1,n≥2，且a1=a2=1，則數(shù)列{an}的前2 019項的和為 .

【解】①當n=2k,k∈N*時，

a2k+1-1=3a2k-1+1,

∴a2k+1=3a2k-1+2，

∴a2k+1+1=3(a2k-1+1)，

所以{a2k-1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，

∴a2k-1=2×3k-1-1.

②當n=2k+1,k∈N*時，a2k+2-1=-(3a2k+1),

∴a2k+2=-3a2k，

所以a2k是首項為1，公比為-3的等比數(shù)列，

∴a2k=(-3)k-1.

∴S2019=(a1+a3+…+a2019)+(a2+a4+…+a2018)

=[(2×30-1)+(2×31-1)+…+(2×31009-1)]+[1+(-3)+…+(-3)1008]

命題角度6 倒序相加法

倒序相加法是指已知數(shù)列特征是“與首末兩端等距離的兩項之和相等”，先把數(shù)列求和的式子倒過來寫，然后對兩個求和的式子進行相加，即可求出該數(shù)列的前n項的和的方法．

【典例6】已知正實數(shù)x,y滿足lgx+lgy=12，且Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn，則Sn= ．

【點睛】利用對數(shù)的運算法則，先化簡已知等式，再利用倒序相加法，即可求出Sn．

【解】∵lgx+lgy=12，∴l(xiāng)g(xy)=12，

∵Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lgyn，

∴Sn=lgyn+lg(xyn-1)+…+lg(xn-2y2)+lg(xn-1y)+lgxn，

以上兩式相加得，

2Sn=(lgxn+lgyn)+[lg(xn-1y)+lg(xyn-1)]+…+(lgyn+lgxn)

=lg(xn·yn)+lg(xn-1y·xyn-1)+…+lg(yn·xn)

=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]

=n[(n+1)lg(xy)]=12n(n+1)，

所以Sn=6n(n+1)．

【解題技巧】破解此類求數(shù)列的前n項和題的關鍵：一是會觀察數(shù)列的特點，觀察數(shù)列前后是否具有“對稱性”，若是，則采用倒序相加法求這個數(shù)列的前n項和；二是熟練運用對數(shù)的運算法則進行計算；三是需注意：倒序后，對兩式相加，得出的式子出錯，如本例題，兩式相加后誤得，Sn=(lgxn+lgyn)+[lg(xn-1y)+lg(xyn-1)]+…+(lgyn+lgxn)，左邊式子漏掉了2倍，應給予警惕，不要因這類低級的錯誤而失分．

【變式訓練6】已知log5m,log5t(m,t∈R+)為關于x的方程x2-25x+λ=0的兩個不同的實根，且Sn=log5mn+log5(mn-1t)+log5(mn-2t2)+…+log5(mtn-1)+log5tn，則Sn= ．

【解】∵log5m,log5t(m,t∈R+)為關于x的方程x2-25x+λ=0的兩個不同的實根，

∴l(xiāng)og5m+log5t=25，

∴l(xiāng)og5(mt)=25，

∵Sn=log5mn+log5(mn-1t)+log5(mn-2t2)+…+log5(mtn-1)+log5tn，

∴Sn=log5tn+log5(mtn-1)+…+log5(mn-2t2)+log5(mn-1t)+log5mn，

以上兩式相加得

2Sn=(log5mn+log5tn)+[log5(mn-1t)+log5(mtn-1)]+…+(log5tn+log5mn)

=log5(mn·tn)+log5(mn-1t·mtn-1)+…+log5(tn·mn)

=n[log5(mt)+log5(mt)+…+log5(mt)]

=n(n+1)log5(mt)=25n(n+1)，