收集數(shù)據(jù)建模型 分析數(shù)據(jù)找規(guī)律
——中學(xué)生養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析習(xí)慣的途徑

浙江 葉琪飛 余繼光

大數(shù)據(jù)時(shí)代，在學(xué)會(huì)對(duì)大數(shù)據(jù)分析研究之前，即中學(xué)階段，學(xué)會(huì)對(duì)有限的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，特別是建立對(duì)數(shù)據(jù)的敏感性是非常有必要的，因此新課程教學(xué)目標(biāo)中把“數(shù)據(jù)分析”列入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)之一.

一、掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法

1.數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識(shí)的過(guò)程.主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的結(jié)論.數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會(huì)生活和科學(xué)研究的各個(gè)方面.數(shù)據(jù)分析是現(xiàn)代公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素質(zhì).通過(guò)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)思考問(wèn)題的習(xí)慣，提升基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，積累在錯(cuò)綜復(fù)雜的情境中探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的經(jīng)驗(yàn).

2.中學(xué)生要建立數(shù)據(jù)意識(shí)，可能還需要教師的引導(dǎo)，特別在當(dāng)前中學(xué)生只會(huì)盲目刷題、應(yīng)試，不會(huì)自覺(jué)觀察自然奇特現(xiàn)象或社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的背景下，提出有意義的問(wèn)題，更加要強(qiáng)化，尤其在選修課程中，以小課題研究為目標(biāo)，以研究性學(xué)習(xí)小組的方式，引導(dǎo)學(xué)生去圍繞某一個(gè)問(wèn)題科學(xué)地收集數(shù)據(jù).

3.中學(xué)生要掌握數(shù)據(jù)分析方法與步驟，一方面，從調(diào)查抽樣開(kāi)始，掌握隨機(jī)抽樣的方法，科學(xué)采集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，對(duì)于某個(gè)重要指標(biāo)，如均值，方差，頻率分布等進(jìn)行分析，從而掌握社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)的基本方法；另一方面，在數(shù)學(xué)解題中，面對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率題目，學(xué)會(huì)從給定的數(shù)據(jù)中，按照統(tǒng)計(jì)整理規(guī)則，整理數(shù)據(jù)，計(jì)算特征值，分析數(shù)據(jù)，作出預(yù)測(cè).

二、引導(dǎo)學(xué)生收集數(shù)據(jù)的途徑

1.觀察周圍特別現(xiàn)象，用數(shù)據(jù)說(shuō)話

引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察周圍社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，深入實(shí)際參與調(diào)查，善于收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)活動(dòng).比如，來(lái)自紹興農(nóng)村的學(xué)生，周末回到家中從父母口中了解到，家中蔬菜大棚種植草莓在銷售方面的困惑——有時(shí)不夠賣，有時(shí)賣不掉，于是組織幾位同學(xué)，實(shí)地調(diào)查，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)分析結(jié)論，調(diào)整并指導(dǎo)種植方案，如下例1；

2.提出問(wèn)題收集數(shù)據(jù)，用模型說(shuō)話

善于從學(xué)生身邊發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，收集數(shù)據(jù)，建立模型，比如，從學(xué)生每天都接觸的課桌椅的舒適問(wèn)題入手進(jìn)行的小課題研究，如下例2；

3.分析數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)規(guī)律，用趨勢(shì)說(shuō)話

學(xué)生接觸最多的是書(shū)本中提供的數(shù)據(jù)，或命題中提供的數(shù)據(jù)，運(yùn)用正確的數(shù)據(jù)分析方法，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、計(jì)算、預(yù)測(cè)，用數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的趨勢(shì)指導(dǎo)社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，如下例3、4.

三、養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析習(xí)慣的體驗(yàn)

1.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題收集數(shù)據(jù)的案例

【例1】 草莓的種植與銷售和地域有關(guān)，也受當(dāng)時(shí)消費(fèi)與供給關(guān)系的制約，因此面對(duì)草莓種植與銷售問(wèn)題，需要對(duì)需求量和供給量的市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，收集數(shù)據(jù)，尋找市場(chǎng)供求關(guān)系的平衡點(diǎn)，然后制定科學(xué)的種植方案，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入本地市場(chǎng)調(diào)查，收集數(shù)據(jù).對(duì)草莓的市場(chǎng)需求量和供給量進(jìn)行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

草莓的市場(chǎng)需求量信息表

草莓的市場(chǎng)供給量信息表

根據(jù)這些信息，以供給(需求)量Q為橫軸，價(jià)格P為縱軸，由已知數(shù)據(jù)在Q—P坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，然后尋找近似的供給線和需求線，取較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)建立方程，求市場(chǎng)的供需平衡點(diǎn)(即需求量和供給量相等的情形).

如圖，供給線近似于直線P-3Q+67=0，需求線為P+2Q-100=0(取較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)建立方程)，供給線與需求線的交點(diǎn)，就是市場(chǎng)供需平衡點(diǎn).

由P-3Q+67=0，P+2Q-100=0，解得P=33.2，Q=33.4，即當(dāng)供需量在33噸左右時(shí)，市場(chǎng)達(dá)到平衡，此時(shí)價(jià)格在每公斤33元左右.

為此，學(xué)生給當(dāng)?shù)夭葺N植戶提出建議，組織起來(lái)，成立合作社，調(diào)整種植面積，合理分配，力爭(zhēng)保持在市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)附近進(jìn)行生產(chǎn)活動(dòng).

【解讀】此案例具有普遍研究?jī)r(jià)值，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，任何商品都受著供求關(guān)系的制約，只有通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，數(shù)據(jù)分析，才能制定科學(xué)的種植方案.

2.收集數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的案例

【例2】 每天從早上7點(diǎn)至晚上9點(diǎn)，同學(xué)們都要生活在教室人均1平方米左右的地方，每當(dāng)坐在課桌椅上聽(tīng)課時(shí)，有許多同學(xué)感覺(jué)不舒服，椅子太矮，腿伸不直，桌子太矮，膝關(guān)節(jié)受到壓迫或磨擦，凡此種種，其原因是桌椅高度不適合自身身體，桌椅使用功能不能符合學(xué)生的實(shí)際需求.為此有必要研究適合當(dāng)前中學(xué)生身體條件的課桌椅高度與功能.

首先，組織學(xué)生從兩方面進(jìn)行實(shí)際調(diào)查，一是學(xué)生自身身體部位的實(shí)際數(shù)據(jù)，二是測(cè)量課桌、椅子的數(shù)據(jù)(調(diào)查實(shí)際數(shù)據(jù)略).

其次，根據(jù)調(diào)查收集到的數(shù)據(jù)，建立一個(gè)課桌椅空間人體活動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型探索適合中學(xué)生身體特點(diǎn)的課桌椅空間及課桌椅尺寸，如探索小腿伸展時(shí)的軌跡，以及適合小腿伸展的桌椅高度.

如圖，選擇地面為x軸，椅子前面投影點(diǎn)為原點(diǎn)O，小腿與大腿連接的關(guān)節(jié)為A點(diǎn)，小腿AC以A為中心旋轉(zhuǎn)，根據(jù)上述數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，探索滿足下列條件的數(shù)學(xué)模型：

課桌椅空間人體活動(dòng)的數(shù)學(xué)模型

(1)OA長(zhǎng)度適合不同身高或不同小腿長(zhǎng)的人坐；

(2)D點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AD與水平面夾角為30°時(shí)應(yīng)與直線EF保持一腳面距離(25cm)；

(3)人體站立時(shí)有適當(dāng)?shù)目臻g(30cm)，以保持人體站立時(shí)A點(diǎn)關(guān)節(jié)不碰撞N點(diǎn)桌子.

再次，為了提出適合中學(xué)生特點(diǎn)的課桌椅設(shè)計(jì)方案，結(jié)合數(shù)學(xué)新課程中的三視圖，對(duì)已有的課桌椅進(jìn)行三視圖繪制，然后提出課桌椅設(shè)計(jì)修改方案，動(dòng)手繪制圖紙(略).

最后，結(jié)合學(xué)校實(shí)際，提出課桌椅設(shè)計(jì)修改方案與建議：在設(shè)計(jì)不同身體素質(zhì)學(xué)生的課桌椅時(shí)要考慮下列因素：一是課桌椅高度可調(diào)節(jié)性；二是課桌椅功能多樣性；三是課桌椅利用有效性.

3.依據(jù)數(shù)據(jù)建立模型預(yù)測(cè)的案例

【例3】 國(guó)外高速公路行車安全問(wèn)題

下表是一位駕駛員手冊(cè)：在干燥的混凝土路面上的停車距離

車速(英里/時(shí))駕駛員反映距離(英尺)剎車距離(英尺)停車距離(英尺)2022224430335083404488132505513819360661982647077270369

假設(shè)觀察從0秒計(jì)時(shí)，反映時(shí)間為0.75秒，這是一種樂(lè)觀的假設(shè).

A：制作一個(gè)停車距離相對(duì)汽車速度的散點(diǎn)圖；

B：能否用一個(gè)二次函數(shù)來(lái)描述這一組數(shù)據(jù)？若能，求出一個(gè)以車速x為自變量，汽車停車距離d為因變量的二次函數(shù).

建立數(shù)學(xué)模型：在高速公路或一般公路上開(kāi)車，都會(huì)遇到上述問(wèn)題，即當(dāng)駕駛員發(fā)現(xiàn)前方道路上有障礙物時(shí)，要緊急剎車，這一過(guò)程中，由于人的反映需要時(shí)間，汽車由于慣性的作用也有一個(gè)剎車距離，這樣停車距離=駕駛員反映時(shí)間內(nèi)汽車所行距離+剎車距離，其中剎車距離與車速有關(guān).

A.根據(jù)已知數(shù)據(jù)描述一個(gè)停車距離相對(duì)速度的散點(diǎn)圖如下：

B.觀察上述散點(diǎn)圖的特征，可以用一個(gè)二次函數(shù)來(lái)描述這組數(shù)據(jù).

設(shè)符合條件的二次函數(shù)為d=ax2+bx+c，將數(shù)據(jù)(20，44)，(40，132)，(70，369)代入可得

解得a=0.07，b=0.2，c=12，所以d=0.07x2+0.2x+12.

【解讀】 如果選擇其他數(shù)據(jù)，則所得二次函數(shù)可能不一樣，其誤差都比較大；如果用最小二乘法去尋找這個(gè)二次函數(shù)，其誤差比較小但計(jì)算量比較大.

4.來(lái)自命題專家提供的測(cè)試案例

【例4】 (2017·全國(guó)卷Ⅲ理·18)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

(Ⅱ)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

【解析】 (Ⅰ)易知需求量可取200,300,500,由表格數(shù)據(jù)可知

則分布列為

X200300500P152525

(Ⅱ)①當(dāng)n≤200時(shí)，Y=n(6-4)=2n，Ymax=400，此時(shí)n=200.

④當(dāng)n≥500時(shí)，易知一定小于③的情況.

綜上所述，當(dāng)n=300時(shí)，取到最大值，最大值為520.

【解讀】 考生面對(duì)專家提供的“頻數(shù)分布表”數(shù)據(jù)，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與所求事件概率緊密相連，從而得到隨機(jī)變量的概率分布，這一環(huán)節(jié)需要的是統(tǒng)計(jì)知識(shí)與概率知識(shí)，以及審題能力.

第(Ⅱ)問(wèn)需要的是，對(duì)隨機(jī)變量特征值“數(shù)學(xué)期望”概念的理解與計(jì)算方法的掌握，這一環(huán)節(jié)也是數(shù)據(jù)處理的重要一環(huán)，學(xué)生在解題訓(xùn)練中可以提高數(shù)據(jù)分析能力.

數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，途徑的每個(gè)方向都非常重要：

一是來(lái)自于生活實(shí)踐的數(shù)學(xué)眼光，沒(méi)有眼光的能力是短暫的；

二是來(lái)自于親身體驗(yàn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，沒(méi)有實(shí)驗(yàn)的能力是空洞的；

三是來(lái)自于問(wèn)題解題的數(shù)學(xué)實(shí)踐，沒(méi)有實(shí)踐的能力是空乏的.