高中數學核心素養研究之數學運算

湖北 柯張軍 王衛華

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的.數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力.新課標提出數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.筆者經過對新課標的研究和學習，結合考試大綱和個人教學實際就核心素養之數學運算提出自己的研究心得.

一、數學運算概念解讀

新課標對數學運算核心素養的定義是從四個方面表述的，分別是：

數學運算概念：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.

學科價值：數學運算是解決數學問題的基本手段.數學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎.

具體表現：數學運算主要表現為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.

教育價值：通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

二、數學運算與其他核心素養的聯系

學科核心素養被稱為繼課程改革之后基礎教育最重要的研究成果，其在綜合了國外已有經驗的基礎上，對國內的總體教學以及學科教學提出了新的理念與認識.就數學學科而言，其既沿襲了傳統數學教學中的精髓，又融入了新的理解.從數學學科核心素養的六個方面來理解數學運算，可以形成這樣的認識：數學運算反映了學生的數學素養.數學運算是利用運算法則解決數學問題的過程，在這個過程中，學生需要經歷分析運算對象，猜想運算方向，選擇運算規則，計算并判斷問題結果等環節，這些環節中，其他的核心素養常常也需要發揮作用，如在分析運算對象的時候，就常常用到數學建模，在選擇運算規則的時候也必然會用到邏輯推理，運算的過程本身就是一個數據分析的過程，在猜測運算方向與判斷運算結果的時候，直觀想象也會發揮重要的作用.因此，數學運算與其他核心素養密切相關，相互聯系并相互促進.

三、數學運算的學業質量要求及水平劃分

高中數學的“四基”是基礎知識和基本技能、基本思想和基本活動經驗，“四能”是指發現問題的能力，提出問題的能力，分析問題的能力和解決問題的能力.數學學科核心素養是“四基”的繼承和發展，“四基”是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學生數學學科核心素養的有效載體.

新課標提出體現數學學科核心素養的四個方面如下：

情境與問題：情境主要是指現實情境、數學情境、科學情境.問題是指在情境中提出的數學問題；

知識與技能：主要是指能夠幫助學生形成相應數學學科核心素養的知識與技能；

思維與表達：主要是指數學活動過程中反映的思維品質、表述的嚴謹性和準確性；

交流與反思：主要是指能夠用數學語言直觀地解釋和交流數學的概念、結論、應用和思想方法，并能進行評價、總結與拓展.

數學學業質量水平是六個數學學科核心素養水平的綜合表現.每一個數學學科核心素養劃分為三個水平，每一個水平是通過數學學科核心素養的具體表現和體現數學學科核心素養的幾個方面進行表述的.其中數學運算核心素養的水平劃分如下：

水平一：能夠在熟悉的數學情境中了解運算對象，提出運算問題.

能夠了解運算法則及其適用范圍，正確進行運算；能夠在熟悉的數學情境中，根據問題的特征建立合適的運算思路，解決問題.

在運算過程中，能夠體會運算法則的意義和作用，能夠運用運算驗證簡單的數學結論.

在交流的過程中，能夠用運算的結果說明問題.

水平二：能夠在關聯的情境中確定運算對象，提出運算問題.

能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，解決問題.

能夠理解運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用.

在交流的過程中，能夠借助運算探討問題.

水平三：在綜合情境中，能把問題轉化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向.

能夠對運算問題，構造運算程序，解決問題.

能夠用程序化的思想理解與表達問題，理解程序化與計算機解決問題的聯系.

在交流的過程中，能夠用程序化思想理解和解釋問題.

數學學業質量水平一是高中畢業應當達到的要求，也是高中畢業的數學學業水平考試的命題依據；數學學業質量水平二是高考的要求，也是數學高考的命題依據；數學學業質量水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內容對數學學科核心素養的達成提出的要求，可以作為大學自主招生的參考.

四、案例分析

新課標要求教師在教學活動中落實“四基”，培養“四能”，促進學生數學學科核心素養的形成和發展，達到相應水平的要求，部分學生可以達到更高水平的要求，筆者選取部分案例探討如何培養學生的數學運算素養.

【例1】已知等差數列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn．

(Ⅰ)求an及Sn；

【案例評析】本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數列的和，熟練數列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵.第一問求an及Sn，這直接利用等差數列通項公式和求和公式，如果學生能根據公式列方程求解，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平一的要求.第二問求數列{bn}的前n項和Tn，先化簡變形再裂項法求數列的和，說明學生熟悉運算對象并且能夠明晰運算途徑、得到運算結果，根據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平二的要求.

【例2】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD,AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點.

(Ⅰ)證明：PE⊥BC;

(Ⅱ)若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.

【解析】以H為原點，HA,HB,HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，設線段HA的長為1， 建立空間直角坐標系如圖，

則A(1，0，0)，B(0，1，0).

設n=(x,y,z)為平面PEH的法向量，

【案例評析】本題考查向量法解決立體幾何問題，主要體現直觀想象和數學運算素養.通過向量計算和證明體會運算法則的作用，感知運算是一種嚴格的邏輯推理，通過一般性運算可以發現和提出命題、掌握推理的基本形式和規則、探索和表述論證的過程，發展數學運算素養.本題向量法比幾何法簡單，第一問能用向量法證明，根據滿意和加分原則，可以認為達到數學運算素養水平一和水平二的要求.第二問能把線面角轉換成向量夾角問題，通過向量運算求解，說明學生具有綜合轉化能力，依據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平三的要求.

(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；

【解析】(Ⅰ)由題知，f(x)的定義域為(0,+∞)，

(ⅱ)若a-1<1，又a>1，故1

當x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(a-1,1)上單調遞減，在(0,a-1)，(1,+∞)上單調遞增.

(ⅲ)若a-1>1，即a>2， 同理可得f(x)在(1，a-1)上單調遞減，在(0,1)，(a-1,+∞)上單調遞增.

由于10，即g(x)在(0,+∞)上單調遞增，從而當0

【案例評析】本題考查導數的綜合應用.第一問學生能求導數f'(x)說明學生能運用求導運算，根據滿意原則，可以認為達到數學運算素養水平一的要求.分類討論導數符號確定單調性，說明學生數學運算能達到一定的深度和廣度，根據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平二的要求.第二問能分析得出用構造函數的方法去解決，說明學生能在綜合情境中，把問題轉化為構造函數求導運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向，根據加分原則，可以認為達到數學運算素養水平三的要求.

五、反思與建議

以上的三個案例分別從數列、向量、導數三方面知識分析了學生數學運算素養水平并作出合理評價.教學評價是數學教學活動的重要組成部分.評價應以課程目標、課程內容和學業質量標準為基本依據，日常教學活動評價，要以教學目標的達成為依據.評價要關注學生數學知識技能的掌握，還要關注學生的學習態度、方法和習慣，更要關注學生數學學科核心素養水平的達成.教師要基于對學生的評價，反思教學過程，總結經驗、發現問題，提出改進思路.因此，數學教學活動的評價目標，既包括對學生學習的評價，也包括對教師教學的評價.