高中數學中的轉化與化歸思想

廣西 黃漢羨

轉化與化歸思想方法是數學中最基本的思想方法，數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，如數形結合思想體現了數與形的轉化；函數與方程思想體現了函數、方程、不等式之間的互相轉化；分類討論思想體現局部與整體的互相轉化.各種變換方法，分析法、反證法、待定系數法、構造法等也是轉化的手段.本篇文章主要通過幾個實例，談談高中數學中的轉化與化歸思想.

一、轉化與化歸思想方法

1.什么是轉化與化歸數學思想？

可以簡單地說，轉化就是把一個問題變?yōu)榱硪粋€問題，化歸就是把一個陌生問題變?yōu)橐粋€熟悉的問題，用數學語言來說就是把未知問題轉化為已知問題、化一般問題為特殊問題、化抽象問題為具體問題.其實，化歸思想就是一種轉化思想，因此，我們數學上，就把轉化和化歸作為一種數學思想方法——轉化與化歸思想.

2.轉化與化歸思想的基本類型

(1)正與反的轉化；

(2)一般與特殊的轉化；

(3)常量與變量的轉化；

(4)數形之間的轉化；

(5)數學各個分科之間的轉化；

(6)相等與不等的轉化；

(7)實際問題與數學模型之間的轉化.

二、轉化與化歸思想在高中數學解題中的主要應用

1.一般與特殊的轉化

解題思路：這個數列是陌生的數列，通過分析我們發(fā)現能夠化歸為我們所熟悉的等差數列.

所以我們在處理陌生的數列時，經常通過一定的變形，轉化為我們所熟悉的等差數列或等比數列.

2.常量與變量的轉化

【案例2】設f(x)是定義在R上的單調遞增函數,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)對任意a∈[-1,1]恒成立,則x的取值范圍為 .

解題思路：f(x)是定義在R上的單調遞增函數，

且f(1-ax-x2)≤f(2-a)→1-ax-x2≤2-a,

其中a∈[-1,1]→a(x-1)+x2+1≥0

對任意a∈[-1,1]恒成立→令g(a)=(x-1)a+x2+1

函數就轉化為關于a的一次

解：∵f(x)在R上是增函數，

∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a)，可得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]，

即?a∈[-1,1],a(x-1)+x2+1≥0恒成立.

解得x≤-1或x≥0.所以實數x的取值范圍為x≤-1 或x≥0.

由此可見，在處理多變量的數學問題時,當常量(或參數)在某一范圍取值,求變量x的范圍時,經常進行常量與變量之間角色的轉化,即可以選取其中的常量(或參數),把它看作是變量,而把變量看作是常量,從而達到簡化運算的目的.案例2就是把a看作變量而把x看作常量，函數就轉化為我們比較熟悉的一次函數.

3.換元法

【案例3】求函數y=(1-2sinx)(1-2cosx)的最小值．

解：由y=(1-2sinx)(1-2cosx)得y=1-2(sinx+cosx)+4sinxcosx,

由t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,

通過換元法把三角函數的最值問題轉化為我們所熟悉的二次函數的最值問題，從而使問題得以解決.換元法是將一個復雜的或陌生的函數、方程、不等式轉化為簡單的或熟悉的函數、方程、不等式的一種重要的方法，是轉化與化歸思想的具體體現.

4.命題的等價轉化

( )

解題思路：該題是解析幾何與概率的綜合題目.

過點A(1，1)可以作兩條直線與圓

在該圓外

解得k<-4或-1

又k∈[-2,2]， 所以-1

在應用化歸與轉化的思想方法去解決數學問題時,沒有一個統一的模式,它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換.在解題過程中進行化歸與轉化時,要遵循以下五項基本原則:(1)化繁為簡的原則;(2)化生為熟的原則;(3)等價性原則;(4)正難則反的原則;(5)形象具體化原則.

5.函數與方程轉化

【案例5】方程sinx=lgx的解有

( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

與函數y=lgx圖象

交點的個數

解：畫出函數y=sinx與y=lgx的圖象如圖，

由圖象可知共有三個交點，故選C.

本題是先把方程的問題轉化為函數問題，再運用數形結合思想轉化為求函數圖象交點問題，尋求幾何性質與代數方程之間的內在聯系.

函數、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯系,解決方程、不等式的問題，需要函數幫助,解決函數的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題;將證明不等式問題轉化為函數的單調性與最值問題;將方程的求解問題轉化為函數的零點問題、兩個函數圖象的交點問題等.

三、怎樣培養(yǎng)學生化歸思想

1.充分挖掘課本

課本不僅是學習知識的主要信息來源，同時也是學習和運用數學思想方法的戰(zhàn)場，是開發(fā)學生數學思維的有效工具．教師應該深入的對課本進行分析，挖掘出課本中的數學思想方法，有意識的在課堂教學中對學生進行培養(yǎng)訓練,從而達到提高學生綜合素質的能力．

2.加強變式訓練

在課堂教學的過程中教師應該有意識的增加變式訓練，加強變式練習能夠讓化歸思路更加清晰，讓學生能夠正確選擇轉化與化歸的方向.

3.堅持一題多解

問題是數學的心臟，大部分的數學問題都能夠運用思維方法來解決，數學問題的解決方法與思路是多樣化的．一題多解能夠讓我們從各種角度來看待問題，從不同的思考方向對相同的問題予以化歸．在數學課堂學習中，堅持一題多解，能夠幫助我們打開思路，提高轉化與化歸能力.

四、結束語