備課軸：小學數學結構化教學設計實務

毛文波，吳玉國

（1.淮安市實驗小學長征校區，江蘇 淮安 223300；2.南京市游府西街小學，江蘇 南京 210002）

備課，教學常規工作，本應充滿創造，現實常常以簡單處之，失去了備課應有之意。備課軸，作為基于認知學習等理論的小學數學結構化教學設計實務，努力使備、學、教、研成一整體，師生共生長。本文從結構化學習的視角就備課軸的要義、價值、各元素及關聯等展開討論，結合實例，探索操作路徑。

一、備課軸設計的理論溯源與模型

1.小學數學結構化教學設計的內涵

小學數學結構化教學設計，就是教師對將要進行的數學教學活動所涉及的各種影響教和學的因素進行整體關聯的活動準備，是基于學生認知結構，學情、學理、學材、學程、學法和學評于一體的各種元素有效融合的教學方案（學評本文暫不討論）。備課軸是它的基本表現形式，也是結構化設計的核心理念體現，多維性、多向性、關聯性、整體性是它的顯著特點，使備、學、教、研，理論與實踐成為一體。

2.教學設計理論與結構化教學設計關系模型

（1）教學設計理論

在現代教學設計理論發展過程中，學習理論或學習心理學、教學理論和傳播學理論構成了教學設計的理論基礎，并用系統化方法將這些理論轉換成教學的系統化過程[1-2]，教學設計成為一個理論與實踐相結合的有機整體。結構化教學設計成為可能。認知學習理論和建構學習理論對教學心理和教學設計產生著重要影響，它是小學數學結構化學習研究的重要理論支撐，學生認知結構是學習的基礎，知識結構的學習又促進認知結構的完善與發展?，F代教學理論最具代表性的有發展性教學、結構主義教學、范例教學，這三種理論都將學生的“學”置于學習的中心，教師充當設計學習的支架和學習過程中的引導者的角色，思維能力的培養與素養的發展是教學的終極目標。從傳播學的角度看，教學是一種信息傳播的活動。傳播過程不是單向“注入”，而是雙向“互動”的過程。[3]理論緊密聯系實際，理論才能更好地服務于實際，并促進理論的發展。當然，“課標”提出的理念、核心素養的相關要求也是教學設計必須考慮的要素，在設計中都應關照。

（2）結構化教學設計關系模型

現代教學設計是用系統化的方法將教學過程中的各元素進行結構化，形成一個有機整體，這也是結構化教學設計的出發點。教學系統方法，涉及教學過程中的教師、學生、學習內容、媒介、方法、環境等有機結合起來的整體，即成一個系統，教和學是兩個重要子系統?！敖獭敝械囊赜薪處煛⒔虒W內容、媒介、方法等，“學”中的要素有學生、學習經歷經驗、學習動機、學習態度、學習行為、認知水平等。這是教學設計的兩條顯性的子系統，還有隱性的子系統，如教的系統背后做支撐的教學理論和學的系統背后做支撐的學習理論等。教學設計的重要內容就是根據教學目標設計出達到教學目標的最佳教學流程，在此過程中，以學的結構為中心，教師教的結構支持學生的學，兩者動態平衡，指向學習對象的素養發展。

教學設計的基礎理論和結構化教學設計的子結構之間的關系模型如圖1。從模型可以看出結構化教學設計是心理學、教育、教學理論基礎上的系統化建構，由幾個密切聯系的子結構構成一個整體，指向人的素養發展的教學目標，所以，結構化教學設計是現代教學設計理論的具體化。

圖1

3.備課軸是結構化課時教學設計模型

（1）備課軸是小學數學結構化教學設計的實務

經過一年多的實踐，我們探索出一條路徑，將教學設計中的相關元素及各子系統進行結構化，使理論看得見，認知循得著，核心素養培養能落地，這就是備課軸，基于結構化學習課時備課軸模型，如圖2。

圖2

教學的中心軸是從現有的思維水平走向已生長的新一級（稍高一級）的思維水平。鄭毓信教授曾明確提出“通過數學幫助學生學會思維”[4]，許衛兵老師也提出數學教學要以“思維為核心的數學素養導向”[5]。思維結構的發展是以學與教的不斷互動、循環、關聯、連續、螺旋上升的過程，形成主干軸，以知識結構為載體，學生認知結構做支撐，遵循學習的規律。為便于操作，我們將結構化教學設計的備課軸分為五個子結構：知識結構、學的結構、教的結構、認知結構和思維結構，各個結構、對應環節及各元素間又有一定的關系，形成結構化設計模塊，模塊間又是緊密關聯的。

（2）備課軸設計的理論分析與結構說明

認知結構是根，要準確把握。皮亞杰的認知發展理論認為：認知結構的過程，就是不斷地同化與順應之間不斷平衡的動態過程。小學生處于具體運算階段，此時“兒童思維運算必須有具體事物的支持，有些問題在具體事物幫助下可以順利獲得解決。離開了具體事物，兒童則難以解決問題?！盵6]對于每一課的學習，學生認知基本上經歷這樣一個過程：由感知覺引發注意，經過回憶、再認，與舊結構發生聯系，在已有經驗、經歷、知識結構分析理解的過程中多元表征，經歷概括、抽象、判斷、推理，使順應與同化達到動態平衡，形成新的認知結構，然后應用獲得的新結構解決現實問題，使新舊結構形成一體，并成為以后的新結構的發展基礎。

知識結構是基，要結構網絡。這里的知識結構包括課時知識結構、它相關領域的結構、單元知識結構、跨年段的知識單元結構、后續知識結構等。課時知識結構是一課的重點，要找到知識各元素及關系，這是知識的內部結構；同時教材要橫著分析，看到外部的結構，這一課在單元、一冊中的結構，找到這一課前面知識結構基礎和后續發展結構之間的關聯處；由內而外，由橫向縱，由點到線、面、體。層層推進，不斷深入，形成新的知識結構，在整體應用中實現文化提升。

學的結構是主體，教的結構是推手。學與教就像一片樹葉的兩面，學與教都是基于學生的認知結構與學生的年齡特征。學的結構是：連續舊知——關聯元素——關聯抽象——循環應用；與之相對應的教的結構是：創設情境——組織探究——抽象建?！疃汝P聯。對應環節，互動生長。

思維結構是目標，不斷發展和完善。思維結構是主體能動認識世界所建立的概念、判斷、推理的框架及其相互聯結、轉換和互動的形式。[7]思維過程主要經歷：直觀思維——程序思維——抽象思維——形式思維。可見教、學活動的結構對思維結構會產生重要影響，因為“思維是連貫有序的”。設計時準確把握學生的數學現實，在一系列主干問題驅動、認知活動作用下，促使學生形成新的數學現實，思維得到發展，使知識結構轉化為學生認知結構。

（3）備課軸的實踐價值與意義

備課軸改變了以往的備課模式，既有過程，也有理有據；既知道“在哪”，也明白怎樣“到那”。我們認為結構化教學設計具有以下價值：

結構學情，從模糊走向精準。對學前的現實狀態有一個系統的、整體的了解，實現精準預設。主要途徑有調查、訪談、觀察等。

結構學材，從教材走向學材。在尊重學生的認知規律、個性發展的基礎上，整合適宜的資源，刪、減、調、增等結構適切的學材，做到尊重學生自然建構起知識、能力及情感。

結構學理，從知識走向素養。通過對小學生認知結構、知識結構深度分析和實踐融通，讓學生經歷數學認知的完整過程，主動建構數學知識的完整樣態，促進數學學習的深度自然發生，實現多維數學素養的全面發展。[8]

結構學程，從單一走向綜合。小學數學結構化學習的學程設計是以知識學習為明線，設計教的結構和學的結構，經歷直觀情境——程序探討——抽象表達——形式演進，主干問題由問題沖突——探究突破——建模突圍，各個要素，點上關聯，縱橫成網。

二、小學數學結構化教學設計的實踐解析

下面以“圓的認識”為例，從圓的知識結構、結構化模塊、學和教的流程設計、備課軸等幾方面（限于篇幅學情、學理略），解析如何建構“圓的認識”教學設計。

1.“圓的認識”知識結構分析

“圓的認識”知識結構我們從三個方面進行結構化分析，具體結構如圖3、圖4、圖5。在橫、縱，內、外比較中準確把握“圓的認識”這課在單元、本冊、小學階段前延后續，準確理解本課的地位與作用，為學生更好的學習打下堅實基礎。下面我們以“圓的認識”所在課時知識各元素內容縱向關聯與學習過程各要素的整體關聯結構進行簡要的分析：教材編排的順序是“識圓——畫圓——概念——特征與關系”，與之相對應的學習過程則是經驗經歷中識圓——動作技能中體悟圓的相關聯特征——概念圓的各部分名稱——用概念表征圓的特征及關系。對應于學情調查，這個序可以根據學生的認知結構進行調整。

圖3 所在課時知識各元素內容縱向關聯與學習過程各要素的整體關聯

圖4 單元內知識例題塊縱向關聯與知識內部數學領域的整體關聯

圖5 知識所在單元與跨年段相關知識單元間的結構關聯

2.“圓的認識”學程結構化模塊設計與說明

下面從結構化教學設計的五個子結構，依據教學的流程，分別介紹“圓的認識”學程設計與說明。

（1）生活實境引起直觀思維

【結構化模塊】（參見圖6）

圖6

【學程設計】

1.回憶：生活中你見過圓嗎？圓在哪里？（課件展示，動畫抽象出圓形）

2.感知：學生摸一摸教具圓及圓面，并比劃圓的圍成，說說對圓的初步感受

3.比較：我們已學過哪些圖形？圓與這些圖形相比有什么不同和聯系？

【設計說明】

布魯納認為，學習的實質是一個人把同類事物聯系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構。通過比較圓與學過的其他圖形，在差異中突出了圓的屬性。在相同處新舊知識發生聯系，不同處突出了各自內涵特質。

（2）點線面體引發程序思維

【結構化模塊】（參見圖7）

圖7

【學程設計】

4.折圓：（學生）將手中的圓形紙片對折一次，有什么發現？對折兩次呢？能對折多少次？觀察折痕有什么發現？

5.小組內交流發現，再全班匯報

預設：對折一次，發現圓是軸對稱圖形；對折多次還完全重合，發現它有無數條對稱軸；觀察折痕，發現都相交于一點，且都相等。

6.概念圓的各部分名稱

這些折痕的交點叫什么呢？能起個名字？這個折痕也能起個名字嗎？直徑有什么要求？（介紹圓內、圓外、圓上三個概念）

7.判斷：圓中哪些線段是直徑

引出半徑及與直徑的關系，并驗證。

比較兩端都在圓上的線段的長度，有什么發現？

8.符號表示：用字母表示圓心、直徑、半徑及關系

9.完成學單：在圓中標出圓心O，畫出半徑r，直徑d,并量一量它們的長各是多少厘米

比較：小圓與大圓的半徑和直徑長短關系。

【設計說明】

“兒童的智慧在他的手指尖上?！辈僮饔兄趯W生對概念、圖形特征的理解和深化。對稱是學生原有的知識結構，多條對稱軸的交點及對稱軸的命名則是新知，學生需要調用已有的概念經驗來順應和同化。由概念到符號化是學生思維的一次提升，是思維的“凝聚”，使思維進入一個形式階段。在比較小圓與大圓的半徑與直徑關系過程中，判斷、推理得到有效發展，使思維借助具象進入演繹層面。

（3）多元表征開啟抽象思維

【結構化模塊】（參見圖8）

圖8

【學程設計】

10.直尺畫圓

（1）（手中拿著直尺）我們用直尺能畫長方形、三角形、梯形等線段圍成的圖形，用它能畫圓嗎？

（2）出示打有一個孔的直尺，并轉動它。

（3）出示打有兩個孔的直尺，啟發——用它能畫出圓嗎？多孔呢？

學生說出它的使用方法，并試畫圓。

比較誰畫的圓大，為什么？思考：要畫任意大的圓怎么辦？

11.用圓規畫圓

（1）看視頻，自學使用方法。

（2）學習單：用圓規畫出半徑為2.5厘米的圓，再畫出直徑為4厘米的圓。再比一比它們的大小。

【設計說明】

在多元表征理論支持下，對圓的特征的深刻認識是從畫圓動作開始，體悟圓的本質特征，形成圓的表象后，進一步思考影響圓大小的關鍵元素，向概括、推理、命題、證明的抽象思維階段發展。用直尺畫圓，既關聯了畫圖形的舊知，也引發了認識沖突。學困于疑，在畫直為曲的過程中，學生思維步入了圓規思維，即定長，旋轉一周即成圓。工具有力支撐了學生思維的發展。

（4）實踐應用展現形式思維

【結構化模塊】（參見圖9）

基于以上對“圓的認識”這課的解構，備課五個方面的模塊化結構、學程設計與之相關的設計分析與說明，這課的備課軸結構模型如圖10。

圖9

圖10

【學程設計】

12.新舊圖形關聯

如果讓你從學過的圖形中給圓找個朋友，你打算找誰？說說理由。

動畫演示方變圓和圓變方的動態過程。

13.知識應用

車輪為什么是圓形？窨井蓋為什么大都是圓形？

動畫演示三種形狀（正方形、橢圓形和圓形）的車輪滾動情況。

14.文化提升

理解墨子的“圓，一中同長也”的數學內涵。

15.回顧與反思

學習了“圓的認識”，把你想到的寫在圓形紙片上。再小組交流，把你們認為好的內容選出，有序地排列起來。

【設計說明】

“方出于矩，圓出于方”，這是二千多年前我國勞動人民的智慧結晶，其中有豐富的文化內涵。而“一中同長”更是對圓本質的準確把握，應用知識解釋圓形車輪、窨井蓋，學生必須調用已有的認知結構進行分析、推理、證明，一系列的思維過程則是形式思維這一高級思維的具體體現，深化對圓本質特征的理解，思維更加深刻，關鍵能力得到有效培養。

3.“圓的認識”備課軸設計

從圖中我們能夠非常直觀地看到，教、學、知識、認知、思維等各個部分及元素之間的整體關聯，相互支持、促進學生整體發展的樣態。

結構化教學設計，設計結構化，從單線走向縱橫交錯，立足兒童發展，向下扎根，師生共同向上生長。教學有軸，實踐有向，不斷循環螺旋上升，不背離初心，促進學生核心素養的培養?！?/p>