序、根、魂：研讀教材的三重境界

胡良梅

（江蘇省運河高等師范學校附屬小學北校，江蘇 徐州 221000）

教材是教學內容的重要載體，是課程標準的具體化，是教師設計課堂教學的主要依據。教材為學生的數學學習提供了豐富開放的主題與素材、內容與結構、活動與線索，是學生獲取數學知識、數學技能和數學活動經驗、數學思想的重要資源。一線教師研讀教材的能力，直接影響其自身專業的成長、知識傳播的效度，也直接影響著學生數學概念的理解、數學思維的發展、數學思想的感悟。因此，如何研讀教材，是具有深遠意義的話題。本文試以具體課例為介，著重探討研讀教材的三重境界，以期給廣大一線教師提供深度解讀的途徑和范例。

一、從整體到局部，理清教學內容的“序”

數學知識具有系統性，其知識體系存在“序”，教材編排也有一定的“序”。數學知識體系的“序”，是教材編排的一個依據，但同時，教材編排還要遵循學生的認知規律，因此，相關教學內容是螺旋上升、分散編排的。教材編排的序，包含整套教材之序、同板塊教材之序、本單元教材之序，還有本課時活動線索之序。從整體—局部，從宏觀—中觀—微觀，系統研讀教學內容的“序”，有助于理清教材編排思路，高瞻遠矚，科學組織教學活動。

1.研讀整套教材，明晰階段教學的要求

“圖形的認識”是“圖形與幾何”學習的基礎，是其重要組成部分。以“圓的認識”研讀為例，蘇教版教材分為兩段進行編排：第一段是在一年級下冊，“直觀認識長方形、正方形、三角形和圓”；第二段是在五年級下冊“探索圓的特征，直觀認識扇形”。

一年級下冊的“直觀認識圓”，通過從“體”分離出“形”的活動，安排學生照樣子畫一畫、比一比，找一找、辨一辨，圍一圍、拼一拼，初步感受圓和長方形、正方形、三角形有明顯的不同，體會圓的邊是“彎”的，另外三個圖形的邊是“直”的。

五年級下冊“圓的認識”，通過用線繩、圓規等不同方式畫圓的活動，借助操作、觀察、比較、想象、推理，深入探索圓的特征，認識圓心、半徑和直徑，體會圓上的任意一點，到圓心的距離是相等的，真正建立圓的概念。

2.研讀單元編排，明確教學內容的節點

一個單元是由若干道例題組成的，這些例題按照一定的邏輯順序組成學生認知發展的序列。整體把握單元編排的“序”，突出重點，分散難點，才能瞻前顧后，提高效率。《圓》單元共編排十一道例題，包含圓的特征、周長和面積。其主要內容及其前后聯系見表1。[1]

圓是小學數學的唯一曲線圖形，也是小學最后學習的平面圖形。圓的認識是本單元的起始課，是重點學習的基礎知識。本單元共安排11課時，圓的認識是3課時，第一課時教學例題1和例題2，例題后的“練一練”以及練習十三第1—3題。通常，每一課時的內容包括例題和隨后的“練一練”，以及練習編排的相關題目，一般以“練一練”作為切分課時的節點。

3.研讀課時內容，理清教學活動的線索

教材不是直接呈現靜態的數學結論，而是引導學生經歷知識的產生、發展與形成的過程。也就是說，指向一個個具體知識的數學活動是教材的重要組成部分，可以說，教材是教師“教路”與學生“學路”的有機統一。研讀課時內容的線索呈現，能幫助教師研判教學重難點，有效安排教學活動。圓的認識這節課包含的知識點比較多，這些知識點之間存在著怎樣的活動順序呢？

例1安排了兩個層次的學習活動。

第一層次，讓學生從靜態和動態兩個層面充分感知圖。

（1）觀察日常生活中常見的幾個圓形物體，激活學生已有的認知經驗，初步抽象出圓的圖形（靜態的圓）；

（2）比一比，初步體會圓與多邊形的異同；

（3）自主畫圓，初步感知圓的基本特征（動態的圓）。

第二層次，結合學生嘗試用圓規畫圓的過程，分別介紹圓的圓心、半徑和直徑，進一步認識圓。

（1）試著用圓規畫圓，在交流中明確用圓規畫圓時需要注意的關鍵環節。

（2）借助畫圖的體會，理解圓心、半徑和直徑這幾個概念，并用字母在圖形上做具體的標注。

（3）在自己所畫的圓上標出圓心，畫出一條半徑和直徑，并分別用字母表示。

例2引導學生在操作活動中探索并發現圓的一些主要特征。

（1）教材首先給出了研究的方法和途徑：任意畫一個圓，折一折、畫一畫、比一比。

（2）交流明確圓的本質特征：同一個圓里所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，直徑長度是半徑的2倍。圓是軸對稱圖形。

以上是對例題活動線索的初步研讀，此外，還有練習題編排意圖的理解，這里不再贅述。

從“整套教材”到“一個單元”再到“一課內容”，是一個從整體到局部的研讀過程，這個過程離不開《教師教學用書》的系統研讀?！靶颉钡难凶x，可以準確把握本課學習在知識技能方面的階段性具體目標。

二、由定義到本質，關注教學內容的“根”

理解某一個數學概念，不能簡單地局限于概念的文字表述，應通過專業化解讀，回歸本體，深入把握概念的數學意義。也就是說，一個概念的學習，最終目的不是為了記住定義，甚至把定義背得爛熟于心，而是要理解這個概念的本質。數學概念的本質，不僅指向明確的教學內容，知道“是什么”，還要指向知識之間的內在聯系，思考“為什么”。不同的認知過程會形成不同的理解水平，若是單純教學“定義”，其認知過程主要是模仿、記憶、強化，只能達成“工具性理解”；若是突出數學知識之間的本質聯系，其認知過程則重在經歷、感知、體驗，就會形成“關系性理解”[2]。以“圓的認識”為例，學生在上課之前對圓的“直觀認識”與“會用圓規畫圓”，還只是工具性理解，通過進一步研讀“是什么—為什么—有何用”，引導學生達成關系性理解，后期學生才能創造性地應用知識。

表1 “圓”的相關內容

1.詢問本體“是什么”

幾何圖形的定義一般有三種形態：（1）點、線、面、體的組合；（2）點的集合；（3）運動的軌跡。分析圓的定義，理解圓的本質，可從以上三個方面入手，確定“圓是什么”。圓的幾何學定義，在中學使用的是“集合”“軌跡”，即“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”，“圓是線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A的運動軌跡”。在小學沒有“集合”“軌跡”等名詞，也沒有界定“什么是圓”，只是涉及圓的直觀表象。其實，依據小學生畫圓的動態過程，可以給出如下定義：讓線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，我們把另一個端點A所畫出的曲線叫作圓，點O稱為圓心，OA稱為半徑。[3]這樣的定義只用了“線段”“旋轉”等術語，小學生完全能夠接受。這個定義明確指明了圓的本體是一條曲線，是一維圖形，具有周長。

2.叩問本源“為什么”

定義只能解釋這個概念“是什么”，不能解釋“為什么”。而“為什么”恰恰揭示了數學知識的創造過程及知識之間的內在聯系。記住定義并不重要，重要的是理解概念的本源意義。學習“圓的認識”，從課前準備圓規開始，學生就已經在旋轉把玩圓規，就知道用圓規可以畫出一個圓。但是“為什么用圓規就能畫出一個圓？”學生不知道。這樣的叩問，可以直指圓的本源意義“到定點的距離等于定長”：圓規固定的一只腳相當于定點，圓規兩腳間的距離相當于定長，圍繞定點旋轉一周，定點不動，定長不變，所以畫出來的才是圓?！叭绾卧诨@球場上畫一個更大的圓？”“還可以怎樣畫一個任意大小的圓？”這樣的叩問，可讓學生感悟畫圓不在于是否必須用“規”，在于必須滿足“定點、定長”這一圓的核心本質。“車輪為什么要做成圓形的？”等生活問題的進一步思考，則可再次凸顯圓的本源意義：因為圓的所有半徑都相等，即“一中同長”，所以圓形車輪車軸的運動軌跡始終在一條水平線上，不會顛簸，平穩舒適。

在幾何學中，圓的概念，我國古代很早就有了研究。早在2400多年以前，我國春秋戰國時期的數學家墨翟在他所著的《墨子》一書中寫道：“圓，一中同長也?！闭f的是：“圓，有且只有一個中心，圓上各點到圓心的距離都相等。”“一中同長”是圓的本源意義，圓心、半徑、直徑及其特征等知識點都是由此衍生。

3.追問價值“有何用”

數學知識體系一直在發展，相關的數學知識浩瀚無邊，為什么偏偏是這些數學概念和方法，一直需要兒童學習？沒有這個概念和方法會怎樣？立足宏大的視野，常常從知識價值的角度去追問，才能直抵知識的核心，把握知識豐富的價值意蘊。[4]為什么要研究圓？為了更好地認識、理解我們賴以生存的空間，也是為了后續的深入學習。我們每天居住、生活、工作的空間都離不開直觀圖形，圓更是隨處可見，如我們生存的地球是圓球形的，還有水面上漾起的波紋、大自然盛開的鮮花、人類智慧的圖案設計和建筑造型等，在一切平面圖形中，圓是最美的。圓的學習，是數學知識體系中的重要一環，是曲線平面圖形學習的發端，是后期學習平面幾何、立體幾何、解析幾何的必備基礎。當然，圓的學習過程中還蘊含著獨特的數學思維、數學思想的價值。一句話，圓的知識自然、簡單而且必要，具有不可替代的意義！

“根”的研讀，是深刻理解概念的發生、發展過程，是彰顯概念存在的合理性和必要性。透徹理解、精準把握、尋得根基，才能達成“用教材教”的境界，才能創造性地組織學習活動。

三、從知識到思想，關注教學內容的“魂”

基礎知識和基本技能是教材編寫的“明線”，而蘊藏在這些知識內容中的思維方法、數學思想，則是教材編寫的“暗線”，是數學學科之魂。數學思想是對數學學科的本質認識，是數學內容邏輯架構的主線。學習一門學科就是學習領悟這門學科的思想方法。數學思想具有層次性，抽象、推理和建模，是數學學科三個高層次的基本思想，由這三個基本思想又可派生出許多低層次的數學思想[5]，因此，研讀數學內容蘊含的數學思想，可從這三個基本思想入手進行細細研究?！秷A》這個單元蘊含的數學思想方法有哪些呢？

1.抽象思想

數學研究的數量和圖形都是抽象的內容，抽象思想在數學中無處不在，數學學科的建立依賴于抽象。符號化、分類、集合、對應、變中不變等都是與抽象有關的數學思想。[6]《圓》這個單元的學習，可滲透符號化、有限與無限等思想，如圓心、半徑、直徑、圓周率，分別用字母“O、r、d、π”表示，這些符號不僅具有明確的含義，還能參加數學運算和推理證明，具有抽象概括、簡明精確的特點。圓的周長C=πd=2πr,面積公式S=πr2，這兩個公式的探索和歸納過程，本身就是一個符號化和模型化的過程。圓的面積，只要確定半徑，無論它的半徑有多大，它的面積總是有限的，把有限的面積分成無限個全等的扇形，轉化成長方形來計算面積，這是將有限問題轉化成無限來解決，可滲透有限與無限思想，體現對立統一的辯證關系。

2.推理思想

數學學科的發展離不開推理，推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。此外，轉化、數形結合、幾何變換、極限等也都與推理有關。[7]《圓》這個單元的學習，可滲透歸納、轉化、數形結合、極限等思想。如圓周率的探索，采用的是歸納法：通過計算幾個大小不同的圓的周長與相應的直徑的比值，發現規律，歸納圓周率?！耙詳到庑巍?，探索圓周率、圓的周長等知識，從量化的角度研究圓，借助于數的精確性和可操作性深入認識圓的性質，是數形結合思想的滲透。把圓分成無窮小的無窮多個小扇形，無限逼近長方形，通過取極限得到面積，這個推導過程，同時蘊含了轉化思想和極限思想，即“無限分割、化曲為直”對后續學習最具有價值，應重點孕伏。

3.模型思想

模型思想是通過數學結構化解決問題，更加注重建模和應用的過程。方程、函數、優化、統計等都是與模型有關的數學思想。[8]《圓》這個單元的學習，可滲透模型、函數等思想。如探索、理解圓的周長C=πd=2πr,面積S=πr2這兩個模型，并能夠運用這些模型解決問題，就是模型思想的滲透。再如圓的半徑若發生變化，圓的周長和面積也會隨著它的變化而變化，且兩個變量之間存在著一定的對應法則，這就是函數研究的對應關系。

抽象，得到數學概念；推理，助推數學發展；模型，促進數學應用。數學知識和數學思想相互依存，但思想總是蘊涵在知識形成的過程中，教師需要用心挖掘數學知識之“魂”，才能提煉概括出隱藏的思想價值。還有一點需要注意的是，各種數學思想之間具有密切聯系性和交叉性，因此，不必拘泥于形式，應重點指導學生感悟數學思想的魅力，為學生的思維發展和終身學習奠定基礎。

教材研讀是打造高效課堂的基礎性工程。深度研讀教材，把握教學內容的本質，是組織教學活動的根本。當然，有效的課堂教學還離不開研究學生的知識基礎和生活經驗，研究學生的思維現實和學習規律。希冀廣大一線教師，可從認真閱讀教本和教師教學用書入手，先厘清教材的“序”，再閱讀教育教學刊物和教育專著，結合思考尋得“根”與“魂”，努力達到思維通透、運籌帷幄的境界?！?/p>