高等數學中的類比思維

牛應軒，王東明，傅傳秀

(皖西學院 金融與數學學院，安徽 六安 237012)

創新能力是國家競爭力的核心，黨的十九大對創新創業人才培養做出了重要部署，國務院對加強創新創業教育提出了明確的要求。創新是當今的時代精神，高等學校擔負培養創造性人才，培養出更多創新型人才的重任。高等數學是各理工科專業重要的基礎理論課，其目的在于培養工程技術人才所必備的數學素質，為培養我國現代化建設需要的高素質人才服務。一方面，高等數學是學生專業知識學習的基礎和重要工具。另一方面，高等數學的理論和方法對學生創新能力的培養及綜合素質的提高有重要意義。它是培養學生的創新思維和創新能力的有效工具和重要途徑。創新能力的形成很大程度上取決于人們的創造性思維方式，創造性思維是一切創造性活動的核心和靈魂。

高等數學涉及許多的思維形式，如抽象思維、邏輯思維、形象思維和猜想思維等等[1](P14)，它也包含了多種思維方式，例如變量函數思維方式、無窮分析思維方式、相似類比思維方式、反例反駁思維方式和空間想象思維方式等等[1](P68)。本文我們討論高等數學中的類比思維。所謂類比，就是借助于兩類不同本質事物之間的相似性，通過比較將一種已經熟悉或掌握的特殊對象的知識推移到另一種新的特殊對象上去的推理手段。一方面，類比思維和類比推理是高等數學中常用的數學思維和數學推理，它提供了高等數學的學習方法，也為理解和掌握高等數學中的概念、定理及公式提供幫助。它能夠將不同層次的類似內容串聯一起，幫助記憶。另一方面，類比思維還大量應用到科學技術的發明創造上，例如潛水艇的設計思想來自魚類在水中浮沉的生物機制的類比；蜜蜂的太陽偏光定向的功能，啟發人們制造了航海偏光天文羅盤等等。我們通過例子說明類比思維的幾種表現形式，顯示它在培養創新意識、創新思維和創新能力中的作用。

類比的認識論根源就是思維相似律，也就是客觀事物發展過程中的相似現象在思維過程中具有相似的反映，它是人的思維的一個基本規律。著名日本物理學家、諾貝爾獎獲得者湯川秀澍(Yukawa，1907—1981)說：“類比是一種創造性思維的形式”[2]。類比為人們的思維過程提供了更廣闊的“自由創造”的天地，使它成為科學研究中非常有創造性的思維形式。

1 平面與空間的類比

著名數學家、教育家波利亞(George Polya，1887—1985)說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的問題。”[2]由條件的相似性可以推得相似的結論。這在平面與空間的類比中尤其明顯。

類比是提出新問題和作出新發現的一個重要源泉，通過平面解析幾何與空間解析幾何的類比，在學習高等數學中的空間解析幾何時，可以由熟悉的平面解析幾何的知識比較容易、自然地掌握空間解析幾何中的新結論。

2 抽象與具體的類比

抽象性是數學的特征之一，抽象的問題是學生在學習高等數學中遭遇到的最大的困難。如果我們能夠將抽象的問題與具體的問題進行類比，發現抽象問題與具體問題的相似性質，從而利用具體問題的性質得到抽象問題的解決。這樣就為學生排除學習中的困難，能夠極大地激發學生的學習興趣和積極性。

下面我們展示如何利用類比方法解決在極限理論中無窮大的問題。無窮大是一個抽象的概念，它是什么？它與通常的數有怎樣的聯系與區別？是學習高等數學中一個必須要解決的問題。首先我們知道數與實數軸上的點有著一一對應關系。我們想象有這么一個點稱為無窮遠點或稱為“理想的點”，它是實數軸的兩端的“交點”，記為∞，如圖1。

圖1 無窮遠點的定義

對于數軸上的點x0的δ-鄰域的幾何表示如圖2。

圖2 x0的δ-鄰域

它的代數表示是U(x0,δ)={x|x0-δ

圖3 無窮遠點的M-鄰域

從而它的代數表示是U(∞,M)={x||x|>M}。數軸上的點x0有鄰域與去心鄰域之分，而無窮點∞的鄰域與去心鄰域是一樣的。數軸上的點x0有左、右δ-鄰域，其相應的幾何表示如圖4、圖5。

圖4 x0的左δ-鄰域

圖5 x0的右δ-鄰域

類比數軸上的點x0有左、右δ-鄰域，我們可以得到∞的左、右M-鄰域，其相應的幾何表示如圖6、圖7。

圖6 無窮遠點的左M-鄰域

圖7 無窮遠點的右M-鄰域

它們分別稱為-∞(+∞)的M-鄰域，其代數表示是U(-∞,M)={x|x<-M}和U(+∞,M)={x|x>M}。

我們記Θ為x0或x-或x+或∞或-∞或+∞，Ξ表示常數A或∞或-∞或+∞。因此，利用類比思想和方法，由上述的極限的定義，我們可以在統一的觀點下，給出各種極限的統一定義：

3 有限與無限的類比

有很多實際問題的精確解，僅僅通過有限次的運算是求不出來的，而必須通過分析一個無限變化過程的變化趨勢才能求得，微積分的建立就是這種思想。我們已經掌握了初等數學的方法和一些結果，它們能夠解決有限的問題，那么在解決和分析無限的問題時，可以通過類比思維方式給予解決。辯證法告訴我們量變到質變規律，因此由有限到無限時僅僅通過簡單和形式上的類比得到的結果未必正確，這是需注意的問題，可以通過對結果進行修正而得到正確的結果。

4 低維與高維的類比

高等數學的主要研究的內容是一元函數的微積分和多元函數的微積分。在掌握了一元函數的微積分知識基礎上學習多元函數微積分時，類比思想和方法起到非常重要的作用和效果。通過已學知識和新知識進行類比，更容易接受、掌握和理解新知識。

4.1 概念的類比

一元函數有極限、連續、導數和積分的概念，而對于多元函數相應地有極限、連續、偏導數和重積分的概念。

一元函數的定積分是通過要計算曲邊梯形的面積而引入的，利用微元法的思想，通過“分割”“近似”“求和”和“取極限”四個步驟給出定積分的定義。類比一元函數的定積分，要計算曲頂柱體的體積，同樣通過“分割”“近似”“求和”和“取極限”四個步驟給出二重積分的定義。

4.2 性質和結論的類比

對于一元函數的極限、連續、導數和定積分都具有線性性質，類似地，對于多元函數，極限、連續、偏導數和重積分也都具有線性性質。

類比閉區間上的一元連續函數具有有界性、最值性和介值性等性質，有界閉區域上的二元連續函數也有有界性、最值性和介值性等性質。

類比思維的認識依據是客觀事物和對象之間存在的普遍聯系-相似性，因此，“類比就是一種相似”[3](P38)。相似律的主要內容之一是相似的基因、相似的條件和相似的環境產生相似的結果。由于一元函數與多元函數在相應的概念上具有較強的相似性，因此在性質和結論上具有許多的相似性就不足為奇了。

類比推理是一種“合情”的“似然”推理，它的正確性不能肯定，原因在于：在推理過程中使用的“相似”這個概念，本身不是確定的，有很大的變化范圍，人們可以給出各種各樣的“相似”，況且“相似”畢竟有差異，因此，類比推理中的前提與結論的從屬關系不是必然的，而是或然的，其正確性必須加以證明或舉反例來判定。

例如在一元函數微分學中有“如果函數f(x)在x0處可導，那么f(x)必在x0處連續”的結論[4](P85)，通過類比，我們可以得到在二元函數微分學中有結論“如果函數f(x,y)在(x0,y0)處有偏導數，那么f(x,y)必在(x0,y0)處連續”，但是我們可以給出反例說明該結論是不正確的[5](P67)。雖然上述的類比結果是不正確的，但是它仍然是符合類比推理規律的一個結果。我們從中可以看出其思維的意義，即引導我們修改類比的設想和結果，直至得到正確的結果。在高等數學的多元函數的微積分中，有許多這種情況。

德國哲學家康德(Kant,1724—1804)說：“每當理智缺乏可靠論證的思想時，類比這個方法往往指引我們前進”[6](P204)。類比思維在數學知識延伸拓廣過程中常借助于比較、聯想用作啟發誘導以尋求思維的變異和發散。在歸納知識系統時又可用來串聯不同層次的類似內容，以幫助理解和記憶。在解決問題時，是產生新成果的原動力。本文討論的類比思維的幾種形式和例子富于啟迪性，它們說明類比思維和推理可以啟發思維，提供線索，舉一反三，觸類旁通。因此，類比方法既是數學學習的重要方法，也是數學發現的有效途徑，因此予以充分地重視是十分必要的。