捕食者具有Allee效應的Lotka-Volterra捕食-食餌系統穩定性注記

陳鳳德，關心宇，鄧 行，黃小燕

(福州大學 數學與計算機科學學院，福州 福建 350016)

1 問題引入

一段時間以來，具有Allee效應的捕食-食餌模型動力學行為研究引起了學者們的高度重視，見文[1-4]以及所引文獻。Hüseyin Merdan提出了如下食餌具有Allee效應的Lotka-Volterra捕食-食餌模型[1]：

(1.1)

其中β是正常數，刻畫了Allee效應的大小。Merdan的研究表明如果r-aβ>0成立，則系統具有唯一的局部漸近穩定的正平衡點，作者的數值模擬表明Allee效應會使得系統要用更多的時間達到它的穩定態。

受Hüseyin Merdan啟發，Xinyu Guan等提出如下捕食者具有Allee效應的Lotka-Volterra捕食-食餌系統[2]：

(1.2)

其中r,a和β均為正常數，β刻畫了Allee效應的大小。作者證明了如果r>a，則系統是持久的，由此知兩個邊界平衡點是不穩定的，借助這一事實和Dulac判別法，作者們最終證得了系統的唯一的正平衡點是全局穩定的。然而，文[2]的分析手法并不能適用于r≤a的情形，而作者也沒對r≤a進行任何的分析。現考慮如下例子：

例1：

(1.3)

數值模擬(圖1)表明此時正平衡點A3是全局漸近穩定的。

圖1 系統(1.3)的具有初值(x(0),y(0))=(0.1,0.5),(0.1,0.1),(1,0.3),(1,0.7)和(1,0.5)的解的動力學行為

數值模擬啟發我們提出如下猜想：

猜想：對r≤a的情形，系統(1.2)也有唯一的全局吸引的正平衡點。

本文的目的在于給出上述猜想的嚴格證明，我們將會在下一節中證明這一猜想。

2 主要結果

系統(1.2)的平衡點由如下方程組所決定

(2.1)

計算易知系統(1.2)有如下三個平衡點：A0(0,0),A1(1,0)和A2(x*,y*),其中

(2.2)

有關上述三個平衡點的局部穩定性態，我們有如下結果：

定理2.1A0(0,0)是鞍點，A1(1,0)是鞍結點，相應的，這2個平衡點都是不穩定的；A2(x*,y*)是漸近穩定的。

有關上述三個平衡點的全局穩定性態，我們有如下結果：

定理2.2系統(1.2)的唯一的正平衡點A2(x*,y*)是全局穩定的。

定理2.1的證明：計算可知系統(1.2)的雅各比矩陣為

(2.3)

其中

由此可知在平衡點A0(0,0)處的雅各比矩陣為

(2.4)

這表明A0是非雙曲的，從而A0的穩定性不能由雅各比矩陣直接進行判斷。為了探討A0的穩定性態，首先，做變換t=rτ，則系統(1.2)變為

(2.5)

其次，做變換X=y,Y=x,則系統(2.5)變為

(2.6)

對系統(2.6)在(0,0)點泰勒展開，且為簡便計，用x,y,t表示X,Y,τ，則有：

(2.7)

其中

這里P6(x,y)是形如xiyj的項組成的多項式，其中i+j≥6.由y+Q2(x,y)=0可解得隱函數y=0=φ(x),將其代入P2(x,y)可得

(2.10)

下面考慮平衡點A1(1,0)，系統(1.2)在平衡點A1(1,0)的雅各比矩陣為

(2.11)

(2.11)表明A1也是非雙曲的。相應的，A1的穩定性也無法從雅各比矩陣來判定。為了探討A1的穩定性，我們首先做一變換，將A1移至原點(X,Y)=(x-1,y)，其后在原點按照泰勒展式展開，則系統(1.2)變為：

(2.12)

(2.13)

Guan等已經證明了系統(1.2)的正平衡點A2(x*,y*)是局部漸近穩定的[2]。

定理2.1證明完畢。

注：文[2]中作者已經證明了在r>a時，邊界平衡點A0(0,0)和A1(1,0)是不穩定的。本文中，我們借助新的分析手法，表明文[2]的限制r>a是多余的。

定理2.2的證明：注意到A0(0,0)和A1(1,0)都是不穩定的，僅有A2(x*,y*)是局部穩定的，完全類似于文[2]中定理3.1的證明，借助Dulac判別法，我們可證得系統(1.2)不存在極限環，由此，可知唯一的正平衡點是全局穩定的，定理2.2證畢。

3 討論

Hüseyin Merdan提出了食餌具有Allee效應的Lotka-Volterra捕食-食餌模型[1]，作者探討了模型正平衡點局部穩定性。Guan等受文[1]影響[2]，提出了捕食者具有Allee效應的Lotka-Volterra捕食-食餌模型，作者們在條件r>a下證明了系統有唯一的全局穩定的正平衡點，但是，對r≤a情形，作者們并未進行探討。本文中，我們證明了對r≤a情形，系統(1.2)一樣有唯一的全局穩定的正平衡點。我們的結果補充和完善了文[2]的結果。由定理2.2可知：在系統(1.2)中，捕食者種群的Allee效應不會影響系統的最終平衡密度。