《概率論與數理統計》教學中的美學教育

【摘要】本文介紹了數學美的基本特征，并結合《概率論與數理統計》課的教學實踐，論述了在數學教學中如何挖掘數學美的特征進行美學教育。

【關鍵詞】數學教學 美學教育

【中圖分類號】O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）39-0131-02

大學數學基礎課，不但是學生掌握數學工具的主要課程，是學生培養理性思維的主要載體，而且是學生接受美感熏陶的一種途徑。如果教師在教學過程中能經常自覺地滲透數學美的思想，這對于不斷增強學生的學習興趣，提高學習效果是大有裨益的。筆者在《概率論與數理統計》課的教學實踐中曾經進行過一些有益的嘗試，收到了很好的教學效果。

一、數學美的基本特征

數學美是一種科學美，我國著名數學家徐利治教授指出：“作為科學語言的數學，具有一般語言文學和藝術所共有的特點，即數學在其內容、結構和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數學美。數學美的含義是豐富的，數學概念的簡潔性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題和模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性都是數學美的具體內容”。這段話是對數學美內容和形式的精辟論述，統一性、對稱性、簡潔性和奇異性可以看成是數學美的基本特征。

1.數學的統一美

數學美的統一性，是指數學中部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數與形本是數學研究的兩個獨立的對象，對它們的研究，分別構成了代數與幾何。然而通過坐標系的建立，使點與數建立了對應，從而把代數研究的對象與幾何研究的對象——方程與曲線聯系了起來，實現了統一。

從數學發展的規律來看，數學的發展將日益證明數學的統一性。為了使龐大的數學體系變得簡單而精確，數學家們經常依據數學各領域的共性，提出統一數學各部分的新觀點、新理論。公理化方法、結構思想就是從統一性目標出發而提出的建立數學體系的方法。

2.數學的對稱美

大自然以對稱方式構造了人，給人自身的美的啟迪。籍此，人們發現了一切生物界的對稱結構及至天體和大自然中的種種對稱結構，進而對稱概念上升為一個哲學范疇受到青睞，且促使人們藝術的潛心研究，創造了越來越多的對稱。

在數學中，對稱概念被嚴格化、形式化了，從而更加展示了它的美。具有對稱性的對象常常具有更多更美的性質，從而更加吸引數學愛好者。特別值得一提的是：對稱性常常給我們帶來計算和證明數學問題中的許多方便和簡單。

3.數學的簡潔美

所謂數學美的簡潔性，按其內涵有些類似于一般藝術欣賞中所說的淺易美。英國學者威廉·奧卡姆認為在諸多理論中最簡單的那個理論，即是最美的理論，而美的理論才能在競爭中取勝。伽利略說過：“數學是上帝來描述大自然的音符。”的確，數學語言本身就十分優美，不可用別的語言來代替。哲學家也承認，世界上沒有任何一種語言比數學語言來得更為簡潔而確切。如牛頓的力學定律、電磁場的麥克思韋方程、愛因斯坦的相對論公式等等，就其描述的自然規律是何等的深刻、重要而復雜，但它的數學表達式又是何等的簡潔！這正是數學語言簡潔美的精彩表現。

4.數學的奇異美

數學美的奇異性特征，即在于“新”與“奇”。它正好迎合于人們在藝術欣賞和科學探索中求新求異的心理意境。奇異有時也近乎荒誕，因而奇異性與通常藝術欣賞中所說的荒誕美、滑稽美有些類似。因為奇異之處，容易使人產生崇高感，在數學中對于新奇的領域和新奇的問題，也可以使數學家產生一種神秘莫測的美感。

奇異是一種美，奇異到極度更是一種美，在某種意義上，數學中的和諧性與奇異性是世界的統一性和多樣性在數學中的反映。客觀世界表現為統一性與多樣性的統一，而數學則是和諧性與奇異性的統一。數學美是數學發展的內在驅動力之一。就數學中的奇異性而言，其中頗有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活經驗也告訴我們，凡是新而不平常的東西，總能在人們的心靈深處感受到一種愉悅的驚奇。同時，人們的好奇心也得到了一定程度上的滿足。如果在學習中能引發起學生的這種好奇心，那么就能極大地提高學習的效率。

二、在數學教學中進行美學教育

在數學教學中進行數學美審美教學，應當與數學的理論教學及能力培養相結合，充分揭示數學美的特征，把數學美的教育滲透到數學教學過程中去，寓教于樂，使學生在潛移默化之中獲得美的修養。

1.揭示統一美，使學生知識系統化

在數學學習中，學生的思維程序紊亂現象較為普遍。不少學生習慣于用單一的、孤立的方式思考問題，不善于將已學過的知識歸納整理，形成知識系統，往往滿足于會解某些類型的題目，忽視進一步的概括綜合和挖掘提煉，缺少從整體上把握內容的有效方法。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數學美的統一性特征，有利于學生形成良好的知識結構。如在講解概率的定義時，概率定義的基礎是隨機試驗中頻率的穩定性，清楚頻率與概率的關系對理解概率論與客觀實踐的聯系十分重要。進一步，又給出了概率論公理化定義，這個公理化結構綜合了前人的成果，明確定義了基本概念，使概率論作為一門數學的分支理論更加嚴謹。

對數學教學中的許多問題，教師應適當引導學生進行統一概括，這樣不僅可以濃縮內容，而且易于解決相應復雜的問題。數學教學中應通過揭示數學美的統一性特征，使學生在頭腦中建立“知識鏈”，形成知識網絡，使學生學會整理知識的方法；引導學生體會并理解數學在各分支間的統一美，提高思維的概括性以及綜合運用知識的能力。

2.展示對稱美，消除思維定勢的影響

例如事件的運算滿足對偶律，它蘊含著豐富的美學因素，A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。任何事物的對稱本身就已有了美的神韻，從對偶律公式外表來看，它就給人一種美的享受。

教學中不僅要讓學生領略這種對稱美，更重要的是讓學生自覺地運用對稱性質解決某些具體問題，以提高分析問題的能力。再如，設隨機變量X服從正態分布N（3，4），則使P（X>a）=P（X

在教學中教師挖掘數學美的對稱性特征，對學生掌握數學思想方法和訓練學生思維的靈活性，消除思維定勢的影響，會起到重要作用。目前，數學教學中存在的不注意學生思維過程，不注意知識的發生和發展過程，而一味要學生背題型、套方法的“題型數學”，嚴重阻礙對學生思維靈活性的培養。因此，讓學生樹立對稱美的意識，教會學生從對立的觀點去思考 問題，在思維方向的選擇上，既會順向，又會逆向，靈活運用，具有重要意義。

3.追求簡潔美、培養思維靈活性

簡潔性這一數學美的特征要求人們在學習數學的過程中，把握事物的主要矛盾，把握事物內部最簡單最基本的聯系。而思維的靈活性是指在學習過程中，不糾纏于事物的表面現象，能有意識地從本質上和整體上看問題，注意從事物之間的聯系和矛盾上來理解事物的本質，克服和減少思維的片面性和絕對化。教師在教學中揭示數學的簡潔美特征，能夠促進學生思維靈活性與深刻性的發展。

例1：設的（X，Y）聯合概率密度為

f（x，y）=24（1-x）y，0

求E（X），D（X），E（Y），D（Y）。

如果先求出X與Y的邊緣密度，再求數學期望和方差就比較麻煩，如注意到對于二維連續型隨機變量，直接利用聯合概率密度計算各分量的數學期望和方差則較簡便。

4.尋覓奇異美，培養創造能力

數學教學中教師挖掘奇異美應與培養學生的創造性結合起來。學生在學習過程中，雖然不一定能提出新的科學概念或發現新的理論，但所學的知識對于學生來說都是嶄新的、首次遇到的，從這個意義上說，學生的學習過程中是會有創造思維活動的。

例2：一本500頁的書中，共有100個錯誤，假設每個錯誤等可能地出現在每一頁上，試求：

（1）指定的頁上恰有3個錯誤的概率；

（2）指定的頁上至少有1個錯誤的概率。

本題直接用二項分布b（n，p）計算比較繁瑣，注意到當n很大，p很小，而乘積λ=np大小適中時，可以用泊松分布π（λ）近似代替二項分布b（n，p），從而簡化計算。

新奇才有藝術，“未曾料到”才引人入勝，這也是數學的魅力，數學的美。數學美的內涵是豐富多彩的，但數學美的諸方面應互相結合，只要在教學中努力挖掘數學美的特征，著意培養學生的美感，必能收到良好的審美教育效果。此外，在數學教學中進行數學美的教育，教師本人的審美能力與美學修養也很重要。教學中教師的精煉語言，精辟的分析，生動的表達，巧妙的啟發，嚴謹的推理，講究的板書等等，都是學生學習審美的榜樣。

參考文獻：

[1]吳開朗.數學美學 [M].北京：北京教育出版社，1993.

[2]李英英等.概率統計思想方法與解題研究[M].北京：天津大學出版社，2005.

作者簡介：

丁巍（1961-），男，遼寧沈陽人，沈陽師范大學副教授，碩士，研究方向：矩陣計算及其應用。