解題細節(jié)促能力 課堂教學(xué)育素養(yǎng)*

●唐俊濤 (吳縣中學(xué)，江蘇蘇州 215151)

解題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的首要任務(wù)，在平日的教學(xué)課堂上，教師非常重視解題．但在實際講解過程中，教師卻往往忽視了對題目的分析、探索過程，實行的是灌輸式、結(jié)論式教學(xué)，解題思路的選擇一猜就靈、一選就準、一證就對，另外選擇練習(xí)往往采用的是題海戰(zhàn)術(shù)，指望學(xué)生通過大量練習(xí)，形成條件反射，機械式模仿教師的解題過程．缺少“實戰(zhàn)”經(jīng)驗，使得學(xué)生在練習(xí)、考試中一旦遇到“面生”的習(xí)題，解題思維就會受到阻礙，聯(lián)想轉(zhuǎn)化能力得不到提高，致使花在數(shù)學(xué)上的時間很多，但是收效甚微，分數(shù)得不到提高．

教師在課堂講題時常常是事先看過解答過程，并做好了非常充分的準備，因此課堂上教師都能把“思路”講得清清楚楚，似乎每一步都是非常順暢，都是自然而然的，學(xué)生也聽得“津津有味”，似乎理解得很透徹，但是實際在自己解題的時候卻并非如此順暢．那么如何進行解題教學(xué)呢?筆者通過幾個具體的方面進行分析，希望得到各位專家同仁的指導(dǎo)．

1 揭露解題中錯誤的本質(zhì)

學(xué)生犯錯的原因是五花八門的，有時題目做錯了，及時訂正，等到下次遇到了還是錯．這種一錯再錯現(xiàn)象的背后隱藏了什么原因呢?教師解決錯題的模式，往往是指出學(xué)生出錯的地方，然后給出統(tǒng)一正確的解法，再通過一系列的類似問題進行強化．這樣的操作似乎解決了學(xué)生當前的問題，卻忽視了問題的背后，學(xué)生只知道“錯在哪里”，但不明白“為什么會犯錯”，等隔了一段時間后，到下次再做類似的題目時，仍舊犯錯，這種糾錯解題教學(xué)并不能真正解決該問題．

例11)若函數(shù)f(x)=log2(x2+2ax－a)的定義域為R，則實數(shù)a的范圍是______;

2)若函數(shù)f(x)=log2(x2+2ax－a)的值域為R，則實數(shù)a的范圍是______．

學(xué)生在解答這類題型時常常將“值域為R、定義域為R”弄混淆，何時用Δ＜0總是分不清，為什么值域為R時要用Δ≥0?表面上看，學(xué)生好像混淆了定義域與值域，而其實是教師平時講解習(xí)題時“重結(jié)果，輕過程”導(dǎo)致的．在評講過程中教師只是告知學(xué)生“應(yīng)該這么做”，但是“為何要這么做”，卻沒有深入講清、講透，導(dǎo)致學(xué)生可能通過短時記憶強行記住了，時間一長再次犯錯也就在所難免了．

怎樣講解能避免這樣的問題呢?筆者認為可讓學(xué)生先暴露他的錯誤，教師在點評時可以告訴學(xué)生，對數(shù)函數(shù)的值域為R，要確保對數(shù)的真數(shù)能取遍所有的正數(shù)，這時就要求真數(shù)上的二次函數(shù)的最小值小于等于0，即Δ≥0，學(xué)生所糾結(jié)的是“對數(shù)中要保證真數(shù)大于0，可是現(xiàn)在真數(shù)的最小值反而比0小”．其實這樣的糾結(jié)大可不必，教師在評講時可以消除學(xué)生的顧慮，雖然此時二次函數(shù)的最小值小于等于0，但是其作為真數(shù)還是要保證大于0，兩者需要取交集，這樣就能夠保證對數(shù)真數(shù)取遍了所有的正數(shù)，該函數(shù)的值域就是R了．而定義域為R則是要確保每一個x對應(yīng)的真數(shù)都要大于0，即真數(shù)的最小值大于0，亦即真數(shù)上的二次函數(shù)x2+2ax－a＞0恒成立，需要Δ＜0．

問題暴露不可怕，只要教師講清問題本質(zhì)，讓學(xué)生明白發(fā)生錯誤的原因，才能從根源上消除再次犯錯的隱患，因此平時解題教學(xué)中需要多多暴露典型錯誤、關(guān)注典型錯誤，不能“避重就輕”，針對錯誤，講清原理，深挖問題背后的概念，讓學(xué)生不再混淆概念，弄清問題的本質(zhì)．

2 讓學(xué)生體會解題受阻點

華羅庚先生說過:“不要只給學(xué)生看做好的飯，更要讓學(xué)生看到做飯的過程．”學(xué)生解題時探求解題途徑、思路不可能一帆風順，往往會受到很多阻礙和挫折，達不到最終的目標．解題受阻是解題過程中最常見的問題之一，現(xiàn)實教學(xué)中，教師為了節(jié)省教學(xué)時間，常常直接告知學(xué)生結(jié)論或解題思路，表面上節(jié)省了教學(xué)時間，學(xué)生也可能通過短時記憶掌握了方法，但是這樣的記憶是不會長久的．這樣的解題教學(xué)沒有展示學(xué)生解題受阻后如何處理的想法及思維過程，時間一長，再次遇到類似的問題時，原來的阻礙點仍舊會變成學(xué)生難以突破的難點．要擺脫這樣的障礙，就要求教師在講解過程中站在學(xué)生的角度去充分考慮思維上的阻礙點，幫助學(xué)生尋求受阻后轉(zhuǎn)化的策略及方法．

例2已知函數(shù) f(x)=ex+m－x3，g(x)=ln(x+1)+2．求證:當 m≥1時，f(x)＞g(x)－x3．

本題常規(guī)的解題思路是:f(x)＞g(x)－x3等價轉(zhuǎn)化為

通過構(gòu)造函數(shù)

試圖利用求導(dǎo)的方式求出h(x)的最小值，使其大于0．但是h'(x)中含有參數(shù)m不能直接求出導(dǎo)數(shù)的極值點，此時問題的障礙點顯現(xiàn)．其實通過分析容易發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生障礙的原因就在參數(shù)m上，由m≥1，可知

不等式ex+m－ln(x+1)－2＞0再次轉(zhuǎn)化為

到此障礙點就得到了突破，下面的解題思路就比較清晰了．可以直接研究函數(shù)y=ex+1－ln(x+1)－2的最小值，也可借助于切線不等式(如ex≥x+1(當x=0時取等號)，lnx≤x－1(當 x=1時取等號)，sinx≤x(當 x=0 時取等號))，可知

將原不等式變形為

即原不等式成立．

教師平時在授課或者答疑過程中可以采取“現(xiàn)推現(xiàn)想”的做法，將問題的受阻點展現(xiàn)出來，并展示受阻時應(yīng)該如何思考、如何突破思維障礙，讓學(xué)生從教師的思維過程中學(xué)到突破困境的思考過程，讓學(xué)生參與整個解題的過程，這樣的記憶才是最深刻的．解題的主體是學(xué)生，教師在教學(xué)中應(yīng)該突出學(xué)生主體的地位，讓學(xué)生去探索、思考，從而提高自身的解題能力．

3 解題不再是滿堂喝彩聲

教師平時的課堂是精心準備的，每一個推理、每一個步驟都是經(jīng)過再三思量的．因此在講解后學(xué)生總感覺解法是一種必然的結(jié)果，當教師評講完題目時總會發(fā)出陣陣贊嘆聲:“這樣的解法真奇妙，這樣的思路真是簡潔，這樣的技巧真是高明……”可是當學(xué)生自己去處理問題時卻感覺無從下手，“只能像只無頭蒼蠅到處亂撞”，長此以往學(xué)生在感慨教師“厲害”的同時還會誤以為自己是有多么笨，從而失去了學(xué)習(xí)的信心，適得其反．因此在平時的課堂中我們要少一點贊嘆聲，多一點質(zhì)疑聲:“我講的解法學(xué)生能想到么?我講的思路是學(xué)生常用的思路么?如果我是學(xué)生能想到這樣的方法么?”多聽聽學(xué)生的想法，多讓學(xué)生開口，教師只是引路人，引導(dǎo)學(xué)生去閱讀題目、引導(dǎo)學(xué)生去思考問題、引導(dǎo)學(xué)生去調(diào)整解題方法，而不是代替他去解題．

課堂中教師也要尊重學(xué)生的思考結(jié)果，鼓勵學(xué)生去思考，無論學(xué)生思考的結(jié)果是否成熟、是否可行，不能簡單地肯定與否定．當學(xué)生遇到難題不會解決時，教師需要鼓勵學(xué)生大膽去探索、去嘗試，在這樣的長期訓(xùn)練下學(xué)生獨立解決問題的能力、思考分析問題的能力必將得到進一步的提升．

例3若實數(shù)x，y滿足則 x的取值范圍______．

(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第7題)

本題的解決方案是將兩個根式進行換元，利用數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為常見的點與圓的最值問題．但是在教學(xué)過程中如果直接告知學(xué)生用換元法解題，就讓學(xué)生失去了探索問題、思考問題的思維過程．教師可以通過問題的形式幫助學(xué)生找到解決該題的突破口．本題的難點是已知等式中的兩個根式，學(xué)生往往第一反應(yīng)是進行平方將根式消除．但通過實際操作會發(fā)現(xiàn)平方后的等式比原等式要繁瑣，那么如何不進行平方，又可以將根式處理掉呢?學(xué)生自然聯(lián)想到換元法，一次換元并不能解決問題，通過兩次換元就能將問題解決．

4 轉(zhuǎn)化問題的視角

解題時若遇到了陌生的、情境新穎的、平時沒有接觸過的問題，有時想不出解題思路怎么辦?這時聯(lián)想轉(zhuǎn)化很重要，通過聯(lián)想類比等方式將原本陌生的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的、已經(jīng)解決過的問題，另辟蹊徑讓學(xué)生找到解決此類問題的思路途徑．教師在這個過程中要積極引導(dǎo)學(xué)生去嘗試、探索，從不同的視角(函數(shù)視角、不等式視角、三角視角、方程視角等等)去觀察問題，不能受限于問題的表面，通過適當?shù)匿亯|讓學(xué)生去嘗試轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決．

例4若實數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．

本題是基本不等式應(yīng)用的常見題型，處理方式往往是由已知條件x2+y2+xy=1，得

2)方程的角度:令 x+y=t，即 y=t－ x，代入x2+y2+xy=1，通過整理將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程x2－tx+t2－1=0．又因為方程有解，從而

由此可見同樣的題目從不同的視角來觀察，可以得到不同的解題思路．長期這樣的訓(xùn)練不僅可以拓寬學(xué)生的思維方式，對學(xué)生解題能力的提高也大有幫助，學(xué)生處理陌生問題時不會無所適從，自然會通過聯(lián)想類比等手段找到解題的途徑和方法．

5 學(xué)生獨立參與解題

我們平時上課時所提及的“解題思路”有時是講不清道不明的，只有當我們自己設(shè)身處地解題時才能體會到這一點．解題的每一個步驟不都是完完全全依靠邏輯，更多的是依靠對題目的感覺，如果解題過程越來越簡潔，那么就離“勝利”就不遠了，相反過程越來越復(fù)雜，那么就可能“此路不通”，需要重新考慮解題方案．

有思才有路，如果學(xué)生自己不動腦，只等著師生將答案告訴他，那么即使講題人將過程說的非常清晰，到頭來可能還是一頭“霧水”，似懂非懂．這也就是很多學(xué)生反映的“課堂上教師講的都能懂，但是當自己獨立去完成相應(yīng)習(xí)題時，卻常常覺得寸步難行”．反之，如果學(xué)生在解題時已經(jīng)認真做了思考，即使沒有獲得完整的解答，但只要得到簡單的“提示”，被教師“點了一點”，也就能豁然開朗，獨立地完成剩下的部分．因此教師在課堂上應(yīng)多留一點時間讓學(xué)生獨立地去思考問題，探索多了自然就會摸索出一條屬于自己的解題途徑．

例5已知函數(shù)f(x(其中 a≠0)在(0，e］上的最大值為2，求a的值．

或者

綜上可得:a=e．

教學(xué)過程中要大膽地放開手，采用探究式的教學(xué)方式，讓學(xué)生自主完成探索，讓學(xué)生真正地去體會解決問題的喜悅，這樣的解題印象才是最深刻、最牢固的．把探索問題的機會放手留給學(xué)生，和學(xué)生一起面對面處理問題，耐心地等待學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，這樣的課堂才是符合新課程標準的，才有利于提高學(xué)生的解題能力．

6 適當?shù)念}海有利于數(shù)感

適當?shù)摹邦}海”訓(xùn)練也是很有必要的，通過做題能培養(yǎng)出良好的數(shù)學(xué)感覺．我們常說的學(xué)霸無非可能就是比普通的學(xué)生多刷了一些題，題刷多了，自然就會有兩把刷子了．可是學(xué)生經(jīng)常反映:“做了很多的題目，解題能力為何并沒有提升?”一部分原因是沒有打好基礎(chǔ)，忽視某些細節(jié)，使人“絆倒、摔跤”的往往是那些不起眼的小石子;還有一部分是沒有做好總結(jié)，做完一道有難度的題目，一定要回顧一遍，弄清:解本題需要哪些步驟，哪些必須、哪些多余、哪些關(guān)鍵、哪些易得，有無更好的方法，總結(jié)是提高解題能力的一個重要環(huán)節(jié)［1］．

例61)已知數(shù)列{an}，a1=1 且 an=2an－1+2，則數(shù)列{an}的通項公式是______;

2)已知數(shù)列{an}，a1=1 且 an=2an－1+2n，則數(shù)列{an}的通項公式是______;

3)已知數(shù)列{an}，a1=1 且 an=3an－1+2n，則數(shù)列{an}的通項公式是______．

這組題型結(jié)構(gòu)類似，都是通過構(gòu)造新的數(shù)列來求通項公式．在第1)小題中an+2=2(an－1+2)，可得{an+2}是首項為3、公比為2的等比數(shù)列，即

an=3·2n－1－2．教師也可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出該類題目的通法:若 an=pan－1+q，則數(shù)列{an+r}(其中 r為常數(shù))為等比數(shù)列．

第2)小題的處理學(xué)生會參照第1)小題的解答，得

但是這樣就犯了一個典型錯誤:若設(shè)bnn=ann+2n，

則

構(gòu)造an+2n=2(an－1+2n)這樣的形式是有問題的．可以兩邊同時除以2n，得

由此可以順水推舟得到第3)小題的解答，將等式 an=3an－1+2n兩邊同除以 2n，得

這樣就可以轉(zhuǎn)化為第1)小題的解題思路．由此我們可以得到an=pan－1+qn題型的解題思路了．

通過這樣的類似題組訓(xùn)練，教師不僅可以幫助學(xué)生找到解題錯誤產(chǎn)生的原因，領(lǐng)悟糾正錯誤的方法，進而提煉出解題的通性通法．

教學(xué)過程中教師還可以繼續(xù)將題目進行“發(fā)散”:若條件是 an=2an－1+2n －1，an=2an－1+2n2，又應(yīng)該如何探究處理呢?教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生“好想法”，同時也要注意適時的總結(jié)．提高解題能力的捷徑就是反思與總結(jié)．

學(xué)生解題不可能每次都是“一蹴而就”，有時需要嘗試—調(diào)整—再嘗試—再調(diào)整……如此反復(fù)，最后還需要進行反思和總結(jié)．在此過程中，教師需要給學(xué)生信心，鼓勵他們獨立思考，適當作出引導(dǎo)，讓學(xué)生一步步逼近目標，這樣不僅可以讓學(xué)生的思維、解題能力得到提高，而且相應(yīng)的意志品質(zhì)也可以得到提升與磨練．正所謂:“解題細節(jié)促能力，課堂教學(xué)育素養(yǎng)．”