常規中蘊含新意 平淡中凸顯素養*
——2018年浙江省數學高考試題第22題的若干思考

●廖如舟 曾麗華 (衢州市第二中學，浙江衢州 324000)

2018年浙江省數學高考試題第22題是一道函數與導數的壓軸題，具體如下:

題目已知函數

1)若 f(x)在 x=x1，x=x2(其中 x1≠x2)處導數相等，證明:f(x1)+f(x2)＞8－8ln2;

2)若 a≤3－4ln2，證明:對于任意 k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．

(2018年浙江省數學高考試題第22題)

此題主要考查函數導數、不等式等基礎知識，其核心是通過導數分析函數的單調性，結合局部判斷等手段得到函數的大致圖像，達到“以圖啟數、以數論形”的目的．考查學生推理論證、分類討論、轉化化歸等分析問題和解決問題的能力，能促進學生邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養的培養．

從閱卷的實際情況看，本題平均得分為2．5分，體現了試卷的選拔功能．但比2017年最后一題得分下降了0．5分，內容也從原來的數列不等式的考查變為了函數與導數的考查．到底是這道題本身的相對難度提升了，還是題目順序的變換影響了學生的發揮，還是新高考后學生整體水平有所下降，值得好好分析研究，從而改進我們的課堂教學．

命題組給出了如下的參考答案:

解1)函數f(x)的導函數為

故g(x)在(256，+∞)上單調遞增，因此

由零點存在性定理知，存在x0∈(m，n)或x0∈(n，m)，使得

因此，對于任意的a∈R，k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點．由于f(x)=kx+a，得

得 －g(x)－1+a≤－(2－4ln2)－1+3－4ln2=0，故h'(x)≤0，即函數h(x)在區間(0，+∞)上單調遞減，因此f(x)=kx+a至多有一個實根．

綜上，當a≤3－4ln2時，對于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點．

對于上述解答過程，筆者有如下一些思考與感悟．

思考1對于第1)小題的解答過程，如何將雙變量轉化為單變量呢?

第一種角度是變量整體替換，即

由均值不等式得x1x2＞256，再由函數單調性分析可得結論．

第二種角度是變量相互替換，用x1來表示x2，得f(x1)+f(x2)=h(x1)，眾所周知，這種思路非常常規，但是對于本題來說運算量較大，不建議選擇．

第三種角度是變量重新轉移，f'(x1)=的兩個不等實根，由韋達定理得

再由 Δ=1－16m ＞0，得

第1)小題實際上是條件最值，解決條件最值問題的方法和技巧還有很多，限于篇幅，本文不再贅述．

思考2對于第2)小題的解答過程，如何尋找滿足條件的m，n呢?

我們可以發現參考答案分為3個步驟:

第一步，由零點存在性定理，分析證明函數

存在零點，其中證明函數存在零點是難點所在．

第二步，將函數的零點與對應方程的解聯系在一起，實現參變分離，即

第三步，利用導數工具，重點研究變形函數

在a≤3－4ln2，k＞0時的單調性，從而使問題獲得圓滿解決．

難點分兩步進行突破:

① x=e－|a|－k的來源．顯然當 x越小時lnx－kx－a＞0越容易成功，因為－lnx→+∞，對于不確定符號的參數，可以利用絕對值去控制，所以只需 －lnx＞ －kx+|a|，再限定 x＜1，只需－lnx＞k+|a|，即 x≤e－|a|－k，而這個點是滿足x＜1 的，故可取 x=e－|a|－k．

參考答案基于零點存在性定理和函數單調性解答問題．整個過程雖然很繁瑣，但很嚴謹，特別是在尋找滿足f(m)f(n)＜0的零點區間(m，n)時很困難．如今的課堂教學追求高效課堂，可又有多少學生能夠靜心思考這些問題呢?如果長期缺乏此類研究，不僅數學的嚴謹性有失偏頗，而且學生思維能力的發展也將受阻．

通過以上分析，不難發現找到滿足f(m)f(n)＜0的零點區間(m，n)的途徑一般有兩種:一是利用重要不等式，如(其中x＞0)等，對原函數進行適當放縮，從而得到一個熟悉且易于求出零點的函數［1］;二是把函數拆分成熟悉的兩個初等函數，畫出圖像，觀察零點的位置，代入適當特值檢驗．但是學生對于(m，n)的選擇會五花八門，能兼顧美觀和便捷的更是少之又少，因此給閱卷帶來了很大的難度．

思考3對于第2)小題，能否直接從參變分離的方法，結合直觀想象，解決含參函數問題?

故 m(x)在(0，16)上單調遞增，在(16，+∞)上單調遞減，即

因此g'(x)≤0恒成立，g(x)單調遞減．當x→0+時，g(x)→+∞，當 x→ +∞，g(x)→0+，對于任意的k＞0，g(x)=k存在唯一的實數根．故當a≤3－4ln2時，對于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．

從閱卷的情況來看，采取此類做法的學生較多，但是要完整作答，需要突破兩個難點:第一，需要通過二次求導的方式或不等式放縮來判斷g'(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，進而得出g(x)單調遞減;第二，需要通過極限思維，判斷g(x)在(0，+∞)上的圖像，即當 x→0+時，g(x)→ +∞，當x→+∞時，g(x)→0+，從而判斷對于任意的k＞0，都存在唯一的公共點，也可以用不等式放縮來說明g(x)在第一象限的大致圖像．

思考4對于第2)小題，能否直接從分類討論、直接求導的方法解決含參函數問題?

圖1

圖2

于是g(x)在(0，16)上單調遞增，在(16，+∞)上單調遞減，故

從而

綜合上述，當a≤3－4ln2時，對于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點．

分類討論直接求導的方法思路清晰，但如需完整作答，需要解決兩個問題:一是對于任意k＞0，分類討論的點在哪里?二是a≤3－4ln2的具體用處和實際控制在哪里?上述解法已經非常具體地給出了回答．分類討論直接求導的方法對于學生的邏輯推理、數學運算這兩個核心素養有很高的要求．

思考5對于第2)小題，能否充分利用數形結合思想，解決含參函數問題?

容易知道

從而 f(x)在［0，4］上下凸遞減，在［4，16］上下凸遞增，在［16，+∞)上上凸遞增，如圖3．

圖3

故當a≤3－4ln2時，對于任意k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點．

數形結合方法的優點是簡潔直觀，缺點在于難把問題表述清楚．上述解答雖未“以圖代證”，在證明的過程中也給出了相應的敘述，但是如需真正揭示問題的本質，即直線與曲線只有一個交點，仍需回歸到之前的解法，因此本次高考閱卷過程中“思考5”中的解法并沒有給滿分．但是作為函數問題，以形促數，促進學生直觀想象，該解法仍有其價值所在．

巧取m，n存零點，巧施圖像來解析;參變分離顯平凡，即使分類也時常;構造目標巧變形，終究求導堪大任;通性常法是本分，夯實基礎可游刃;常規題中蘊新意，平淡問題顯素養．總而言之，數學是一門研究規律的科學，在解決問題時，回歸本質就是以認清數學問題的本源為基礎，探尋解決問題的根本屬性與規律，達到解決問題的目的．回歸本質，不斷挖掘數學精髓，領悟數學真諦，懂得數學價值，學會數學思維，把知識的學習和數學核心素養的培養結合起來．