優化算法 提升數學運算核心素養*
——以2018年浙江省數學高考試題為例

●曹方圓 (溫州市第二十二中學，浙江溫州 325000)

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準(2017年)》提出了數學學科六大核心素養，其中包括數學運算．數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等．數學運算是解決數學問題的基本手段，它是一種演繹推理，是利用計算機程序化解決問題的基礎．可以說，沒有運算就沒有數學．培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題［1］．

數學運算是教師教學的“痛點”，學生學習的“懼點”．數學運算能力的現狀是:學生面對數學問題一看就懂，一聽就會，一做就錯．作為數學教師，如何改變學生運算能力現狀，提升學生數學運算核心素養呢?就教學實施而言，能力的培養必須根植于相應的知識．在高中階段，發展數學運算能力的主要知識載體有不等式、函數、數列、向量、解析幾何、計數原理等．在高考等限時測試中，為提升解題的速度和準確性，除了應試者本身的運算功底等主觀因素外，不能忽視的是算法的優化．以下，筆者以2018年浙江省數學高考卷中的解析幾何、函數、數列考題為例，談談如何優化算法，提升數學運算核心素養．

2 提升數學運算核心素養的主要途徑

2．1 解析幾何，以統一變量為目標

如果在長期的教學中重演算、輕算理，就難免落入形式化、程序化等機械訓練的窠臼中，學生必然會感到厭煩、枯燥、懼怕．任何一種算法都應該是講道理的，忽視運算中的邏輯思維成分也就使得計算淪為純粹的技能訓練，根本無法招架綜合性的問題．因此，把運算的過程理解為推理的過程，將運算教學的重點落在思考與計算的統一，發展學生的思維水平，方能更好地體現運算能力對于核心素養發展的價值［2］．

很多學生對解析幾何綜合問題幾乎到了“談虎色變”的地步，究其原因，可以概括為兩個:“消不去”(即設定參數消不了)，“算不對”(即運算出錯)［3］．而突破它們的法寶便是尋求“變量統一”．其中x＜0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍．

圖1

(2018年浙江省數學高考試題第21題)

分析該題求解的思路比較明顯，容易建立解決方案:1)通過證明yM=yP得到;2)建立S△PAB與xP或yP的函數解析式，求函數的值域．

2．1．1 合理引參，解決“消不去”的問題

引參、消參是解決解析幾何問題的基本策略，設定的參數消不去是學生解題時經常遇到的障礙．由于坐標法本身涉及的字母符號較多，運算過程較

例1如圖1，已知點P是y軸左側(不含 y軸)一點，拋物線C:y2=4x上存在兩個不同的點A，B滿足PA，PB的中點均在C上．

1)設 AB中點為 M，證明:PM⊥y軸;

2)若 P是半橢圓 x2+復雜，故在引參時，必須結合幾何圖形或所給的方程，最大限度地降低運算的難度．

在引參時，可以根據幾何圖形的對稱性(點A，B地位等價)來設點的坐標，由于已知點A，B所在的拋物線方程，故只需要引入兩個變量y1，y2，設，便可以高效地解決引參的問題．學生中常見的不恰當的引參做法有:在設點A，B的坐標時，有引入4個變量的，如 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其，沒有充分利用“點在曲線上”的已知條件，引入過多的參數，致使最終化簡時理不清主線而失敗;利用x1，x2將點A，B 設成 A，雖然不會增加變量的個數，但由于存在根式的運算，加大了化簡的難度．

由上述分析知，在教學中應教會學生引參的方法:用足題目所給的條件，減少和化整引入的參數，可以有效簡化運算，提升運算效率．

2．1．2 明晰算理，解決“算不對”的問題

學生算不對的原因:一是基礎知識不扎實，代數式的運算不過關;二是算理不清楚，沒有理清化簡方向．教師要以解析幾何為載體訓練學生的運算能力，幫助學生明晰算理，培養求簡意識，鍛煉耐心和恒心，全面發展學生的數學運算核心素養．

1)借助幾何特征，簡化表述．

在第2)小題中求△PAB的面積，有很多算法，比如一般較為容易想到的是以邊AB為底、P為頂點的△PAB，其面積可表示為

或者利用|AP|，|BP|以及夾角，即

顯然后者要求的量更多，表示起來很復雜．前者雖然|AB|可用弦長公式計算，即

h可用點到直線的距離公式計算，即

這也是平時訓練較多的方法，不會陌生，但是無論計算|AB|還是h，都有一定的運算量，而且最后還要統一參數，劃歸為求函數值域的問題．對于運算能力不過硬的學生來說，在限時測試的利益權衡中，極為容易放棄．

根據第1)小題的結論，怎么求S△PAB更方便?我們容易從該題特定的幾何特征中發現面積用水平寬乘鉛垂高的算法，即

解析幾何問題往往由于所給問題有較好的對稱性和對等性，使得其代數運算也有較好的對偶與對等，如果能充分利用其內在的這些美學因素，必將使運算更為自然而有規可循．在日常教學中，我們需要指導學生隨時調整運算方向，少走運算彎路，避免瞎撞亂碰、隨意亂算，使運算繁冗而難以繼續．

2)找準目標方向，按需化簡．

將三角形的面積表示為

后，我們發現有3個變量 y1，y2，x0．處理多變量函數問題的核心就是減少變量，最終統一劃歸為單變量．考慮該題的幾何特征，由于點A，B地位等價，必然要將最終的變量統一到x0．明確目標之后，便確定了化簡的方向，這里的處理比較常規，就是運用韋達定理

3個變量減少至2個變量，走出了通往勝利的第一步．由于已知中給定P(x0，y0)所在的曲線方程，因此可以進一步用x0表示，從而成功地劃歸為單變量函數的值域問題．因為

在解析幾何運算中常常要涉及直線方程和曲線方程的聯立消元整理問題，而這步運算的錯誤率很高．由于消元整理一步的錯誤，造成以下“工作”全面亂套，破壞了數學內在結構的完美與和諧，使運算鉆進繁瑣復雜的死胡同而徹底失?。虼耍斜匾芯窟@步運算的合理性和科學性，既要速度又要正確率，那就是抓住“主元”，明確化簡方向．

2．2 函數零點，以極限估算為手段

估算能力是指個體在利用一些估算策略的基礎上，通過觀察、比較、判斷、推理等認知過程，獲得一種概略化結果的能力．估算在日常生活與數學學習中有著十分廣泛的應用，培養學生的估算意識，發展學生的估算能力，讓學生擁有良好的數感，具有重要的價值．在教學中，我們一般采用“先估后算”，讓學生感受估算既可以為問題的解決提供有效的策略，又能夠在精確程度要求不高的情況下節約時間成本，提升運算效率．如:

例2已知函數

1)略;

2)若 a≤3－4ln2，證明:對于任意 k＞0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點．

(2018年浙江省數學高考試題第22題)

分析證明直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一的公共點，即證明函數g(x)=f(x)－kx－a有唯一的零點．用零點存在定理證明存在性，再通過求導分析單調性來證明唯一性．

用零點存在定理的關鍵是需要找到給定區間，在該區間的m處有g(m)＞0，在n處有g(n)＜0．比如該題的參考答案給出:令 m=e－(|a|+k)，n=

因此，g(x)=f(x)－kx－a在(m，n)上存在零點．這里的m和n是如何取出的(或者說怎么想到的呢)?筆者認為對于較為復雜的含參函數應該根據以下兩個步驟去找．

1)極限與階，定性分析．

首先可以利用極限思想定性分析出零點存在，這里需要一些極限與階的高等數學知識．當x→+∞時，指數函數＞冪函數＞對數函數＞常數．對于加減而言，可以“抓大放小”．例如，f(x)=ex－x，當x→+∞時，由于高階的ex占主導地位，可忽略低階的－x，因此整個代數式f(x)→+∞．對于乘除而言，如果出現分不清高低階的情況，還可以通過洛必達法則和泰勒展開來“定階”．

于是由零點存在定理可知函數g(x)=槡x－lnxkx－a必存在零點．

利用極限與階，能快速方便地判斷代數式的符號，從而分析出零點的存在性，在高考等限時測試中，可有效節約時間，提升運算準確度．但是“在高中教授極限與階的知識是不是超綱，會不會增加師生的負擔”是很多教師存在的困惑．實際上在人教A版《數學(必修1)》第3章“函數的應用”中，已經有好幾頁的篇幅通過觀察函數圖像以及函數值數據去比較當x→+∞時，指數函數、冪函數、對數函數的大小關系并得出相關結論．只是這一節內容由于涉及高考不考的應用題而經常被一線教師略過不教．而等到高三復習時再去提極限與階的概念，便顯得生硬做作．因此，分析高考試題，從另一個角度講，也是在指導我們今后的教學，應該“回歸課本”，根據需要作出合理引導和拓展．

2)賦特殊值，估算界限．

如果說利用極限的思想只是粗略判定了零點的存在，那么具體的m，n該怎么找呢?為了降低找點成本，優先賦特殊值而后考慮放縮．特殊值包括:區間端點、特殊點和形式簡單的點．具體而言，對于ex可以嘗試賦值0，1，－1，對于lnx可以嘗試賦而形式簡單的點包括局部為0、局部去分母和局部消參(含定點)的點．

該題從應試角度來看，用極限思想可以快速精準地分析出零點的存在性，沒有必要找出使得函數值互異的點m，n．若要取點，一般可按以下思路:1)抓大放小，舍棄低階和運算不便的項;2)統一矛盾，利用放縮將結構調整為可解的式子．

2．3 數列，以函數思想為指導

著名數學家克萊因說:“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考．”這不僅體現了函數教學在中學階段的重要地位，更多的是指教師應該培養學生用函數的思想去思考變量之間的關系．在解題時，以函數思想做指導，就是利用函數的圖像、性質作工具進行分析，或者構造一個函數把表面上不是函數的問題劃歸為函數問題．因為數列本身就是特殊的函數，所以許多數列問題可以用函數的觀點去分析、思考，從而達到簡化運算的目的．

例3已知 a1，a2，a3，a4成等比數列，且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若 a1＞1，則 ( )

(2018年浙江省數學高考試題第10題)

分析在等比數列中要比較兩個項之間的大小關系，最關鍵的是求出公比q的取值范圍．這時很容易想到將已知條件中的每個項都用基本量a1，q 來表示，也就是但是由于對數運算的復雜性，無法再繼續有效地化簡．

2．3．1 借助函數圖像直觀分析，簡化運算

注意到對數不利于式子的繼續化簡，是否可以尋找ln(a1+a2+a3)與a1+a2+a3的大小關系，從而將ln(a1+a2+a3)用a1+a2+a3替換，進而簡化運算，于是聯想到只需要比較lnx與x的大小關系，可以借助y=lnx和y=x的函數圖像(如圖2)，因為這兩個函數都是基本初等函數，它們的圖像與性質學生非常熟悉，易得lnx＜x，所以

于是

故 a4＜0．又 a1＞1，因此

2．3．2 構造函數模型巧妙化歸，避免討論

構造函數的方法是高中數學中重要的方法之一．不少數列問題的解決依托構造函數的方法，運算方便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果．再來看例3，得到a1(1+q+q2+q3)=ln［a1(1+q+q2)］后，由于要求出q的取值范圍，可以將q看成主元，令函數

它的零點所在范圍就是q的范圍．又0＜a1＜1，從而

于是函數f(q)在區間(－1，0)上必存在零點，即關于q的方程

其根的取值范圍是( －1，0)，從而 q∈( －1，0)，于是

即

再由 a3－a1=a1(q2－1)，a4－a2=a1q(q2－1)，知只需比較q與－1的大小關系即可．

1)當q=－1時，

因此q=－1不成立．

2)當q＜－1時，

而 a1＞0，a2＜0，因此

故選B．

這里巧妙地構造以q為主元的函數f(q)，通過零點存在定理求q的范圍，避免了分類討論，解題過程更簡潔．

該試題以等比數列為背景，在等比數列、不等式、函數的性質等基礎知識的交匯處精心設計，蘊含了等價轉化、放縮、分類討論等思想方法，實現了對數學知識、數學思想和數學方法的有效考查．考慮數列的函數本質，利用函數思想應對數列小題，可以有效實現小題小做，提升解題效率．

3 寫在最后

數學運算能力是學好數學的一項基本能力，良好的運算能力有助于學生數學核心素養的培養．在實際教學過程中，要想提高學生的數學運算能力，教師在教學中要注意幫助學生理解概念本質，耐心細致地強化基礎訓練，滲透數學思想方法，引導學生在眾多解法中，尋求優化的思路和策略．

我們期待通過高中數學課程的學習，幫助學生進一步發展數學運算能力，提升數學運算核心素養，有效借助運算方法解決實際問題．通過運算促進數學思維發展，形成程序化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神．