深入挖掘題目內涵 平凡中彰顯不平凡*
——基于2018年浙江省數學高考試題第20題

●金燦芳 (蕭山中學，浙江杭州 311200)

1 考題再現

題目已知等比數列{an}的公比 q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中項，數列{bn}滿足b1=1，數列{(bn+1－bn)an}的前n項和為2n2+n．

1)求q的值;

2)求數列{bn}的通項公式．

(2018年浙江省數學高考試題第20題)

在數列{an}中，n∈N*，其中q為常數)，則稱{an}為等差比數列．

本題考查的是利用錯位相減來求等差比數列的前n項和，全省的平均分不高，只有總分的一半．本題首先要利用數列{an}的通項an與前n項和，將條件轉化成求等差比數列的前n項和，有很多學生這一關沒有轉化對;在具體求和時，錯位相減的方法也有很多學生沒有落實好．錯位相減是數列求和問題的常規方法，可以將等差比數列的求和問題轉化為利用公式求等比數列的前n項和．我們深入研究該題，還能挖掘出更多的內涵，這個數列可以利用待定系數求解，利用裂項相消求和，也可以構造成常數數列，還可以構造成等比數列，利用通項公式求解．

2 解法分析

解1)易得 a4=8，q=2．

2)由第1)小題易得 an=2n－1，令 cn=(bn+1－bn)an，則數列{cn}的前 n項和 Sn=2n2+n．由于因此 c=4n－1，代入得n．又 b－b是“差分”的形式，即nn－1bn=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)+b1，從而

對于數列{anbn}，其中{an}為等差數列，{bn}為等比數列，設 an=a1+(n －1)d，bn=b1qn－1(其中q≠1)，求數列{anbn}前n項和的關鍵是求數列{nqn－1}的前 n 項和．令

兩式錯位相減，得

移項得

綜上可知，利用錯位相減的方法，任意等差比數列的前n項和都可以轉化成求等比數列的前n項和．

3 解法探究

3．1 構造一般模型

3．2 構造裂項相消

事實上，在本題的已知條件下，b1的值一定滿足數列{bn}的通項公式，根據裂項相消的特點，可將 b=1 代入，得 C=15，即1

在這個解法中裂項相消的構造是重要思想．第二種構造大大地簡化了過程，并且在這樣的構造下，通項公式的主要形式已經明確，因此可以用待定系數法迅速求解，與“構造一般模型”的思想類似，但是這樣的技巧需要平時的沉淀和積累．第一種構造是從一般入手，只要等差比數列或等比數列的通項都可以去嘗試，如在等比數列中，qn=不妨令 an=(xn+y)qn，因為(n+1)qn+1－nqn=nqn(q－1)+qn+1，所以

則an就表示成了裂項相消的形式．除此之外，裂項相消的一般形式還有以下4種:

3．3 構造常數數列

這個解法是建立在已經構造好裂項相消的基礎上，本質還是構造裂項相消，若 an－an－1=f(n)－f(n－1)，則

an－f(n)=an－1－f(n－1)=…=a1－f(1)，從而{an－f(n)}為常數數列，即可求出{an}的通項公式．

3．4 構造等比數列

用構造法求數列的通項公式是數列中的重要知識點，常見的有以下3類:

1)an=pan－1+q，令 an－ m=p(an－1－ m)，解則{a－m}是首項為 a－m、公比為pn1的等比數列．

2)an=pan－1+qn+r，令 an+xn+y=p［an－1+x(n－1)+y］，解得于是構造了新的公比為p的等比數列，這就是本題的類型．

4 結束語

本題主要考查利用錯位相減來求等差比數列的前n項和，深入研究可知方法不止一種．除了落實錯位相減的方法，還可以向學生灌輸待定系數的方法和數列中其他的重要思想，比如從一般的、常見的裂項相消開始，能夠辨析一些復雜的裂項相消;不僅可以解決一次函數型的由遞推公式求通項公式，也能解決帶n的或指數型的由遞推公式求通項公式．

我們的教學主要是例題教學．優質的試題，通過教師的思維引導和解法展示，資源得到了充分的利用，達到了訓練的目的，也能適度減輕學生的負擔［1］．在解題教學中要注重學生的解題思維，挖掘其中的知識點，讓學生在讀題、析題、解題、悟題的過程中提升自己的數學思維素養［2］．

這就要求教師要充分地研究題目，分析條件，挖掘各種有效的解題方法，有些看似平凡的題解法豐富，能讓學生有效地落實各種相關知識點，在解題思維中彰顯它的不平凡．