新高考背景下創新試題的命制歷程*

●任偉芳 (寧波市教育局教研室，浙江寧波 315000)

提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題．而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想象力［1］．提出問題需要創新能力，因而命制一個問題比解決一個問題更加困難，充滿著不可預知的魅力，也向無數喜愛命題的研究者及一線教師提出了挑戰．為了促進教師的專業成長，掌握科學命題的基本原理和方法，提高考試命題的技術和水平，發揮以評價引領課堂教學的作用，近日浙江省寧波市教育局教研室開展了以“新高考背景下的創新試題命制”為主題的教學比武活動，一線數學教師踴躍參加，頗受好評．下面筆者整理了命制受到較高評價的部分試題以及近幾年對試題命制方法的一些感悟，以例談的方式與各位同行交流命制試題的過程，敬請批評指正．

1 改編教材題目

教材是“教師教”和“學生學”的主要憑借，是教師進行教學的具體依據，是學生獲得系統知識、發展智力、提高素養的重要工具．教材中有很多體現核心知識、基本方法的學習內容，也有很多經典的例題、習題．可以根據需要，通過變更問題的結構、改變題設的數據和設問方向等來改編教材題目．

1．1 題目來源

例1設點 A，B的坐標分別為(－5，0)，(5，0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積求點M的軌跡方程．

(人教A版《數學(選修2-1)》第41頁例3)

我們一再地改變它、重新敘述它、變換它，直到最后成功地尋到某些有用東西為止［1］．因此舊的問題解決后再從新的角度多方向探究問題，對設計發現新問題來說顯得彌足珍貴．

探究方向1探索特殊到一般是否成立．

改編1設點A，B的坐標分別為(－a，0)，(a，0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之其中a＞0，b＞0)，求點M的軌跡方程．

改編2設點A，B是橢圓(其中a＞b＞0)上關于坐標原點O對稱的兩個點，點M是橢圓上異于點A，B的任意一點，記直線AM，BM的斜率分別是k1，k2，問:k1k2是否為定值?

證明設 A(x1，y1)，B( － x1，－ y1)，M(x0，y0)，則

又點A，B，M在橢圓上，從而

結論1設AB為任意一條過橢圓(其中a＞b＞0)中心的弦，點M為橢圓上異于A，B的任意一點，若直線AM，BM斜率存在且記為k1，k2，那么k1k2為定值

探究方向2探究逆命題是否成立．

改編3已知點M(x0，y0)為橢(其中a＞b＞0)上任意一點，直線AM，BM分別交橢圓于點A，B，直線AM，BM 的斜率分別為k1，k2，滿足，求證:直線AB過橢圓中心O．

證明直線AM的方程為

結論2已知橢圓(其中a＞b＞0)，橢圓一條弦的兩個端點與橢圓上任意一點連線的斜率之積為充要條件是這條弦經過橢圓中心．

探究方向3探究定值為何是

結論3當變換T將圓變換為橢圓時，k1k2=－1仍成立．

結論4當變換T將直線變換為直線，變換后直線的斜率是原直線斜率的倍，記經過變換T后直線AM，BM的斜率分別為

1．2 創新題目

例2已知橢圓，過點M的兩條弦AM，BM的斜率之積為1，則直線AB過定點______．

分析設直線AM的斜率為k1，可表示出點A的坐標，同理可表示出點B的坐標，進而求出直線AB的方程，最后得到定點

評注本題考查橢圓的幾何性質、圓錐曲線中斜率定值問題等知識點，命題考查的立意是提升學生數學運算、邏輯推理等數學核心素養以及數形結合的能力．本題難度系數為0．65，考試后的統計結果與考前預測相吻合．

1．3 命制說明

通過對例1中條件、結論的一般化以及條件與結論的位置互換，利用高等代數中的矩陣變換知識，最后得到了一道考查圓錐曲線定點的題目，達到了舉一反三、觸類旁通的目的．通過將例1改編成例2可知:在往年全國各地的數學高考題中，有時會發現有一些題目有教材中練習題、例題的影子，因此在平時的教學中，應好好利用教材中的資源和素材進行發散和探究．一個簡單問題的一般化、條件互換就可以獲得很多新的資源，一道題的發散是多方向的，要根據命題目標來確定這道題的關注點在哪里．總之，根據教材中提供的素材編制創新試題，不僅遵循《普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》，符合《普通高中數學課程標準》，而且還能抵制題海戰術，引導高三復習教學形成“重視教材和鉆研教材”的良好風氣．

2 類比原有考題

2．1 題目來源

研究歷年全國各地的高考試題，會發現有些題目的數量關系包含著深刻的幾何背景，考查數學思想方法有一定的典型性．可以利用數形結合揭示內在的本質，通過類比數量關系的幾何意義構造新穎的數量關系進行設問，也可以通過改變設問的視角和方式進行編題．下面以2017年浙江省數學高考試題第15題為原型進行改編為例加以說明．

2．2 創新題目

例3已知向量 a，b，滿足2|a+b|+|ab|=15，|a|=3，則|b|的最小值是 ______，最大值是______．

圖1

解法1(利用平行四邊形的性質與線性規劃)如圖1，設|a+b|=x，|a －b|=y，由平行四邊形的四邊關系可得

如圖2，畫出可行域為線段PQ(含端點)，因此可行域上的點到原點的距離的平方的最大值在點P處取到，最小值在點H處取到，即可得|b|的最大值為6，|b|的最小值

圖2

圖3

解法2(換元后求二次函數最值)如圖3，設|a+b|=x，|a － b|=y，則

由平行四邊形的四邊關系可知

要求|b|的最值，即求x2+y2的最值．由三角形兩邊之和大于第三邊，易算得 x∈［3，7］，則

從而

解法3(利用向量三角不等式與柯西不等式)由柯西不等式得

平塘縣稻作區多丘陵山區，有較寬廣的河谷地或盆地，陽光充足，水源較為方便，較適于雜草生長，主要草種有鴨舌草、牛毛草、稻稗、異型莎草、矮慈姑、青萍、眼子菜等20余種。實施稻鴨共育項目后，項目區雜草經鴨采食和踩踏，放鴨后40天左右，已基本無雜草，除草效果明顯。另外，鴨的活動大大改善了稻田土壤的透氣性，減輕了有毒物質的生成和危害，促進水稻根系的生長，從而利于水稻生長發育。

2|a+b|+|a －b|≤

評注本題主要考查平面向量運算的幾何意義、向量模的性質和三角不等式，以及推理運算、數形結合等一些基本的數學思想方法．“以能力立意”是命題者的指導思想，靈活多變的解題方法是本題命制的一大亮點．本題難度系數為0．55，達到預期目標．

2．3 命制說明

本題考查的基本意圖是評價學生掌握平面向量加減法的概念及幾何意義的程度．例3和高考真題的數學本質都是運用了“平行四邊形的四邊平方和等于兩條對角線的平方”．命題者緊緊抓住這個結論巧妙地根據現有的試題類比改編成新穎問題，這已成為高考命題慣用的手法，我們幾乎不能想象有一個問題是絕對的新穎，和我們以前所解決過的問題都不相似，都無關系［1］．作為數學教師應多研究高考真題，這樣才能更好地把握高考的命題方向，如以向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則出發，通過置換結論和條件的方法可以延伸出很多問題，本試題成功改編就是一個精彩例證．

3 構造合理圖形

構造是一種重要的數學思想方法，它是創造力較高的表現形式．在數學解題中，認真審題，依據題目條件，捕足“特征信息”，類比相關知識，構造數學模型，來尋求解題的切入點，從而可獲得簡捷、明快、新穎的方法．構造法是中學數學中最具有挑戰性的解題方法，也是考查學生創新能力的最好載體之一．命題者要做有心人，做題留心方能偶得好題，正所謂:“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫．”

3．1 命題來源

如圖4，在正方體AEDF-BGHC中，邊長為1，二面角D-CB-H的余弦值為，作 MQ⊥平面BGHC，Q為垂足．當MN⊥BC時，有

從而

圖4

圖5

3．2 創新題目

解法2(構造三角形法)如圖6，過點B作AD的平行線l，設dAD-l為平行線AD與l之間的距離，過點M作ME⊥BC于點E，過點M作MF⊥l于點F．因為

圖6

圖7

解法3(構造全等形法)如圖7，過點M作ME⊥BC于點E，作MF⊥AB于點 F．由于 BE=

推廣在有公共斜邊的Rt△ABD和Rt△CBD中，∠DAB= ∠DCB=90°，AD=CD=1，AB=BC=k(其中k為大于0的常數)，點P為AD的中點，點M，N分別在線段BD，BC上，求證:PM+k·MN≥k．

構造法的合理使用往往能使復雜的問題簡單化，使“一籌莫展”的問題“柳暗花明”．構造法的最大難點是學生不易想到如何進行合理的構造，因此本題考查的是學生的直觀想象能力和數學運算能力，不但要求能理解知識，還要能遷移知識，更能創造知識．本題的難度系數為0．35，大數據統計和預估相吻合．

3．3 命制說明

本題是以幾何動態方法命制的求最小值問題．創作的靈感源于在研究正方體線面結構關系時，一個偶然的機會發現可以構造形如求PM+k·MN類型的最小值問題．平面幾何題目通過構造立體圖形來做是這道題目的精妙之處．畫一個假設圖形，假設它的各個部分都滿足題目條件，也許是邁出解題的重要一步［2］．根據所求的特征，構造出相應的幾何體，使等式中的一些數量關系顯現在幾何體中，有時能使我們豁然開朗，茅塞頓開;只需借助幾何體的性質，即可得到簡捷的證明途徑．試題呈現方式簡潔新穎，內涵豐富．立體幾何平面化是解立體幾何題目的重要方法，而平面幾何蘊含于立體幾何中顯示出命題者的高明命制技術，但在學生的具體做題中又有不同途徑可以解決它，體現了以生為本的命題情懷．因為有諸多優點，所以本題被選為浙江省寧波市2017學年第一學期期末考試的填空壓軸題．

創新試題的命制過程猶如加工一件精致的藝術品．一般來說，題目命制應該是有法可循的，要真正命制一道好題，需要有創新精神，大膽猜想，小心求證，經歷反復斟酌、艱難探究、多次修改、科學驗證等過程才能定稿．命題成型時，既要關注試題整體呈現的形式，又要關注細節是否有瑕疵．正如羅增儒教授在《數學解題學引論》一書中所說:“命制數學題需要深厚的知識功底、良好的思維素質和熟練的編題技巧．有時候，創造一個問題比解決一個問題更困難．”這就要求命題教師要學會在平時的解題中欣賞試題，學會用數學的眼光觀察世界，不斷總結命制方法，數學地思考問題，加強解題研究，學會用精湛的命題藝術去呈現數學的美妙．