數學推理的價值意蘊及其教學策略

周曉甜

摘 要：數學推理是學生數學核心素養的重要組成。數學推理有其本真內涵及價值意蘊。在數學教學中，教師要開發數學推理的教學策略與路徑，催生學生推理意識、培育學生推理能力、積累學生推理經驗、優化學生推理品質，幫助學生逐步學會推理。

關鍵詞：數學推理；價值意蘊；教學策略

推理是學生數學學習的必備品質，也是學生數學核心素養的關鍵能力。學生在數學學習中主要的學習方式就是推理，推理伴隨著學生數學學習的始終。《2011年數學課程標準》明確指出，應將推理能力的發展貫穿于學生的整個數學學習過程之中。小學是推理教學的起步階段，在數學教學中，教師應當依據學生的年齡特征和數學知識特質進行數學推理教學。

一、數學推理的本質內涵及價值意蘊

（一）“數學推理”釋義

所謂“數學推理”，是指學生在數學學習過程中由已知判斷（前提）推出未知判斷（結論）的過程。一般認為，推理主要包括合情推理和演繹推理兩種形式，其中合情推理又包括類比推理和歸納推理。在解決問題的過程中，合情推理通常用于探索思路，發現結論；演繹推理通常用于證明結論。在數學教學中，推理應該是學生主動發生的行為。如果教師在這個過程中過度地“引”“導”，那么學生就可能出現虛假推理的現象。比如暗示性推理、無端式推理等，表面上是學生在進行推理學習，其實質是學生在接受教師的指令。

（二）“數學推理”價值

1. 基于學生深度學習的需要

數學推理讓學生數學學習不再停留于表層，而是展開積極猜想、論證、甄別、判斷等，這些能夠導致學生的數學深度學習。比如，合情推理有助于萌發學生創新意識，演繹推理則有助于培育學生嚴密性思維。這些都是學生應具備的深度學習品質，體現著深度學習要求。在數學教學中，教師要引導學生進行清晰度高、邏輯性強、方法靈活的推理。通過數學推理，形成學生理性思考的能力。

2. 基于學生思維品質的需要

數學推理的本質就是發現、探究。離開推理，學生數學學習就只是直觀感知，只能停留在感性層面，而不能上升到理性層面。推理是啟迪學生數學思維，發展學生數學思想、智慧的重要手段與方法。數學推理不僅能夠發展學生類比、歸納思維，而且能夠發展學生邏輯、理性和形式化思維。換言之，沒有推理就沒有學生高端思維品質的發展。在學生數學學習中，推理不單純地依賴證明、計算，還可以借助說理、舉例等多種方式來進行、展開。

3. 基于數學學科特質的需要

東北師范大學史寧中教授認為，“數學核心素養有三：抽象、推理與模型”。可以這樣說，推理是數學學科最為本質的特點。如果一個學生在數學學習中沒有學會推理（無論是合情推理還是演繹推理），那么很難說這個學生具備數學核心素養。著名數學家彭加勒說：“推理始終應是數學的核心，是數學的根本特性。”而波利亞也曾這樣說：“一個認真想把數學作為他終身事業的學生必須學習推理，這是他的專業，也是他那門學科的特殊標志。”

推理基于學生舊知，導向學生新知，推動著學生在數學方面的發展，能夠實現學生數學素養的提升。隨著學生數學知識的不斷豐富，他們或多或少都積累了推理經驗和方法，如聯想、類比、歸納、猜測、驗證等。因此，在數學教學中，教師必須引領學生推理實踐，培養學生推理能力。

二、數學推理的教學策略及展開路徑

學生數學推理，尤其是小學生數學推理有別于成人，其有著自身的特質。比如推理有一定的情理性，但少了些邏輯性；推理有一定的模糊性，但可能缺少邏輯嚴謹性，他們常常不經仔細分析就提出假設；推理夾雜著形象性，具有半邏輯化特點，他們還不能完全脫離實物、圖片等。在數學教學中，教師要容忍學生“不嚴格的清楚”，發展學生合情推理與演繹推理的能力。

（一） 數學推理的教學策略

1. 完善推理工具

小學階段的數學知識主要涉及“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“綜合與實踐”等內容。這些內容包含著豐富的數學思想方法，如假設、替換、對應、數形結合、集合、函變等。在數學教學中，教師要讓數學思想、方法成為學生數學推理的“工具包”，助力學生數學推理。

2. 形成推理技能

小學數學知識豐富、涉及面廣，這就為學生數學推理提供了許多模型（比如乘法模型、平面圖形面積計算模型等）。從推理形式上看，合情推理主要是借助猜測、驗證，演繹推理主要是形成“三段論”（包括大前提、小前提和結論）；從推理內容上看，合情推理著力引導學生發現，演繹推理著力引導學生論證；從過程與方法上看，合情推理可以大膽些，演繹推理卻必須嚴謹、小心。

3. 明晰推理程序

為方便學生推理，教師應該讓學生明晰推理的一般過程。首先要理解題意，然后要領悟數學本質，進行論證或求解。在這個過程中，教師要將分析法（執果索因）和綜合法（由因導果）融入其中。一般情況下，推理過程就是“情景——目標——論證”的數學學習程序的展開過程。在數學推理中，要讓學生完整地經歷這一過程。

（二）數學推理的教學路徑

1. 搭建支架：催生學生的推理意識

推理意識能夠形成學生數學推理的理性自覺。只有擁有推理意識，才能讓學生在數學學習中自覺地想到推理。在數學教學中，教師要搭建支架，催生學生數學推理意識。比如教學《小數的意義》，當筆者借助米尺讓學生直觀認識到“一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾”時，適時追問：三位小數、四位小數還需要我將整數“1”平均分成1000份、10000份嗎？學生迅速類比推理：三位小數表示千分之幾、四位小數表示萬分之幾。同時，有學生迅速反過來類比推理：十分之幾表示一位小數、百分之幾表示兩位小數等。正是由于筆者將推理支架搭建在學生的“最近發展區”，并通過問題形成問題情境，才讓學生的推理意識自然萌發。

2. 融合方法：培育學生的推理能力

學生推理能力的發展不是一朝一夕的事，它需要教師的悉心培育。在數學教學中，教師要引導學生將合情推理與演繹論證融合起來，讓學生的推理空間多維化、推理過程高效化。比如，教學《比的基本性質》，教師可以先和學生一起復習“商不變的規律”“小數的性質”以及“分數的基本性質”，夯實學生數學推理的母體。如此，學生就能自然地形成“比的基本性質”的猜想，并自覺從“除法算式、分數、小數和比”之間的關聯來進行演繹論證。再比如，教學《三角形的內角和》，教師可以和學生復習“三角形的分類”等知識，讓學生從“長方形內角和”演繹推理“直角三角形內角和”，由“直角三角形內角和”演繹“銳角三角形及鈍角三角形的內角和”。接著，由直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內角和完全歸納出“三角形的內角和”。這樣的推理深化了學生數學思維，構筑了數學推理體系。

3. 開發載體：豐富學生的推理經驗

在數學推理中，合情推理具有或然性，演繹推理具有必然性。只有豐富學生的推理經驗，才能消解學生的假象推理，讓學生的數學推理不再空洞化、形式化、表面化。比如教學《3的倍數的特征》，有學生根據2的倍數、5的倍數的特征類比推理3的倍數的特征，通過舉例驗證，能發現猜想是不正確的。據此，有教師直接指引學生計算各個數位上數字的和，看有什么發現。這樣的發現，對學生而言是一個“偽發現”。其實，在教學中，教師完全可以運用“百數表”，讓學生圈出2的倍數、3的倍數、5的倍數的數，學生就能從不同的排列上產生兩點發現：一是3的倍數不同于2、5的倍數；二是學生能夠發現，在百數表中，十位上的數依次加1，個位上的數依次減1。至此，教師可以適時追問“什么不變”。如此，引導學生猜想“3的倍數的特征”。通過多次猜想、驗證，學生的合情推理更具合理性。這個過程，自然能夠豐富學生的推理經驗。

4. 轉換視角：優化學生的推理品質

數學中有許多原理、定理，當一個教師在教學中用原理、定理來指導學生學習行為時，教學就蛻變成簡單的“告訴”。其實，教師應轉換視角，向學生“抖露”原理、定理的一小部分，而剩余部分則讓學生借助推理自行構建出來，這樣的教學才是有效教學，這樣的推理教學才能優化學生的推理品質。比如教學《圓柱的體積》，教師可以向學生“抖露”圓的面積推導過程；教學《異分母分數加減法》，教師可以向學生“抖露”整數加減法、小數加減法和同分母分數相加減；教學《乘法交換律》，教師可以向學生“抖露”低年級的“一圖兩式”“乘法驗算”等數學知識等。正是通過教師的視角轉換、隱性發掘，才延展了學生的推理路徑，拓展了學生的推理內容。

小學階段的數學推理，應當從以合情推理為主，逐步過渡到以演繹推理為主。對于合情推理與演繹推理，教學中要注意相互融通、不可偏廢。對于學生而言，重要的是用推理意識面向知識，用推理的思想探尋規律，用推理的態度對待數學。學生將學習如何完成從簡單到復雜、從特殊到一般、從已知到未知的推理過程，這一過程在中學將得到進一步強化。為此，小學階段的推理教學要“時刻準備著”。