初中數學應用題中的行程問題探析

安冬冬

摘 要：行程問題的應用題是初中應用題中的一個重要內容，也是數學教學過程中的一個難點。很多學生在做這類題型時由于不理解和分析不到位，會出現很多錯誤導致扣分嚴重的現象。其實認真分析起來，行程問題的應用題做題是有方法的，根據具體的題型對這類應用題做具體探析。

關鍵詞：行程應用題；初中數學；問題探析

初中數學有關行程的應用題所占分量比較大，既是重點也是難點。學生在數學課堂上能聽懂老師所講的內容，書本例題也能掌握，但是題型和所給條件一旦發生變化，學生就不知如何下手了。從課本中有關行程問題的數學題分析來看，此類題型無非就是涉及了距離、速度、時間這三個變量，基本的數量關系為：距離=速度×時間，變形后的式子為：速度=距離/時間，時間=距離/速度。掌握住這些基本的數量關系，是做有關行程類應用題的基礎。

一、相遇問題與相距問題

相遇問題是相向而行，如果是直線運動，那么兩者路程之和就等于兩者之間的距離；如果是圓周之間的運動，若同時同地的相向而行，那么兩者的路程之和就等于圓周的周長。如果是單純的相遇問題或者是相距問題，那么這樣的題是比較簡單的，可以運用下面的等式關系：

相遇：甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程

相距：甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程-甲和乙之間的距離

例1.有甲乙兩個站臺，它們之間的距離為450千米，一輛慢車從甲站出發，每小時行駛65千米，有一輛快車從乙站出發，每小時行駛85千米，如果兩輛車同時出發并且相向而行，那么多長時間后它們能夠相遇？

分析：這道相遇問題比較具有典型性，由于兩輛車從甲乙兩站同時出發并且相向而行，那么甲乙兩個站臺之間的距離就與兩輛車行駛的路程相等，所以可以得出等式關系：快車行駛的路程+慢車行駛的路程=兩個站臺之間的距離。

變式1：有甲乙兩列火車，它們的長度分別為144米和180米，甲車比乙車每秒鐘多行駛4米，兩車相向而行從相遇到兩車錯開需要9秒鐘，問兩個火車的速度分別是多少？

分析：這道題也是相遇問題中的一道比較典型的題，分析可以發現，兩輛火車之間的長度之和就等于兩車之間的距離，所以可以得出等式關系：兩輛火車的長度之和=甲車行駛的路程+乙車行駛的路程。

二、追及問題

追及問題是同向而行，如果是直線運動，兩者之間的距離就等于兩者行駛的路程之差；如果是圓周之間的運動，若同時同向同地出發，那么圓周的周長就等于兩者行駛的路程之差。可利用下面的等式關系：

（1）甲、乙同地卻不同時行駛的等式關系：甲行駛的路程=乙行駛的路程

（2）甲、乙不在同一地點出發的等式關系：被追及者+不同地點的路差=追及者

例2.小明和小紅兩個人相距100米，小明在前面每秒跑3米，小紅在后面每秒跑5米，如果兩個人同時出發，同向而行，那么幾秒后小紅能追上小明？

分析：小紅要追上小明，首先就要比小明多跑100米，然而兩個人跑步所用的時間是一樣的，即同時不同地，所以可以得出等式關系：小紅行駛的路程-100=小明行駛的路程。

變式1：小明和小紅兩名同學在操場上練習百米賽跑，小明每秒跑7米，小紅每秒跑6米，如果小明讓小紅先跑1秒，那么，小明幾秒鐘可以追上小紅？

分析：在這道題中，小明和小紅出發的地點相同，所跑的路程也是相等的，但由于小明讓小紅先跑了1秒，所以就產生了一個路程差的問題，即小紅1秒鐘所跑的路程。所以這樣分析下來，這道題就和前面的例2一樣了。

三、環形跑道問題

環形跑道問題也是行程類應用題中的一個重要的題型，具體的等式關系可以分為以下幾個方面：

（1）甲乙在同地反向行駛相遇，等式關系為：甲行駛的路程+乙行駛的路程=環形跑道一周的路程

（2）甲乙在同地同向行駛相遇（假設甲的行駛速度>乙的行駛速度），等式關系為：甲行駛的路程-乙行駛的路程=環形跑道一周的路程。

例3.甲、乙兩個人在200米的環形跑道上練習跑步，乙的速度快于甲，當他們都從一個地方同時出發，每隔4分鐘可以相遇一次，求甲乙兩人的速度分別是多少？

分析：這道題用列方程的形式來做，是比較直接清楚的。由于甲乙兩個人是在同時同地出發的，他們每隔4分鐘相遇一次，那么環形跑道一周的路程就與甲行駛的路程減去乙行駛的路程相等。設甲的速度為x米/分，乙的速度為y米/分，那么可以直接列出方程組：0.5x+0.5y=200；4x-4y=200，解出未知數x和y即可。

四、水（空）中航行問題

關于水（空）中航行問題，主要涉及四個變量，即水速、靜水船速、順水船速、逆水船速（風速、順風飛速、逆風飛速、無風飛速），它們之間的等式關系為：

順水船速=靜水船速+水速；逆水船速=靜水船速-水速；順水船速+逆水船速=靜水船速×2；順水船速-逆水船速=水速×2；順風飛速=無風飛速+風速；逆風飛速=無風飛速-風速。

例4.一架飛機在兩城之間飛行，如果順風飛機需要5小時

30分鐘到達，如果逆風飛機需要6個小時到達，已知風速為24千米/小時，求兩城之間的距離是多少？

分析：這是一道比較典型的空中航行問題，通過分析我們可以發現用列方程的方法是很容易解決的。將飛機無風時的飛行速度設為每小時x千米，根據兩城距離不變的原則，把飛機順風和逆風不同的情況全都表示出來，問題就迎刃而解了。

行程問題的應用題是初中學生必須要掌握的知識點，它作為數學題中的一個難點，需要被教師重視起來，找出更好的方法引導學生們來解決。教師要在教學中結合生活的實例，將這些關于行程問題的應用題整理出來集中講解，保證學生遇到這類問題都能夠迎刃而解。

參考文獻：

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[2]王允.初中數學應用題教學的研究[J].科學之友，2010（14）：154-155.

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