有限元法在斷裂力學中的應用

摘 要：斷裂力學是研究帶缺陷或裂紋的物體或構件強度的學科，是力學的一個分支。本文主要講述了斷裂力學的發展、有限元應用于斷裂力學所做的研究。

關鍵詞：斷裂力學；有限元法；應用

1 緒論

斷裂力學是固體力學的一個分支，將缺陷模型簡化為裂紋，研究裂紋對物體或構件強度的影響，即討論裂紋體的強度規律和裂紋在物體中運動規律。它研究裂紋的起裂條件、擴展過程以及擴展到什么程度時物體會發生斷裂。彌補了常規強度設計方法不能處理裂紋的不足。[1]

歷史上，因斷裂發生的工程事故不在少數。因此，在傳統的設計思路中加入了斷裂的概念，宏觀的斷裂力學孕育而生。

2 斷裂力學的發展

1921年，Griffith 的脆性斷裂理論問世，是斷裂力學的先導。后經Irwen、Orowan等人的修改之后也能適用于鋼材了。[2]1957年，Irwin提出了應力強度因子理論，形成了線性斷裂力學的體系。1965年，Wells根據大量實驗提出了裂紋尖端開位移準則。1968年，Rice和Cherepanov提出了路徑無關的J積分。同年Hutchinson等人建立了著名的HRR奇性場，為彈塑性斷裂力學奠定了重要的理論基礎。1972年，Begley和Landes基于塊體試樣的彈塑性斷裂實驗，提出了以J積分為控制參量的斷裂準則。1974年，Sih提出了能量密度因子理論。1994年，ODowd等人提出了J.Q雙參數斷裂準則。1995年，魏悅廣和王自強基于斷裂尖端高階場分析提出J.k斷裂準則。[3]

斷裂力學起步的晚，目前仍在發展階段。發展方向從線彈性到彈塑性；從靜態斷裂到動態斷裂；從宏觀微觀分離到宏觀與微觀結合；從確定性方法到概率統計性方法。[4]

3 有限元法在斷裂力學中的應用

有限元法是解決斷裂力學中裂紋問題的最有力的數值工具之一。

Hrennikoff于1941年，McHenry于1943年用線（一維）單元（桿和梁）求解了連續體中的應力，從而在20世紀40年代開始了有限元在結構化工程領域的現代發展。更多有限元的發展情況，文獻[5]做了詳述。

Christen，Denke等人在60年代初用常規元計算二維裂紋尖端的應力和位移場。60年代末以后，Kobayashi，Wilson等人用有限元法模擬了二維裂紋尖端的奇異場。

從70年代初到80年代初有限元法主要集中用于研究裂紋尖端奇異場的模擬。國際上許多斷裂力學工作者提出了各種類型的奇異單元。例如Barsoum等人將八節點四邊形單元的中間節點移動到四分之一位置提出了四分之一節點奇異等參元，獲得了裂紋尖端的精確解。1974年，Blenzley提出了一種包含角點奇異點的廣義四邊形有限元方法，并給出了裂紋尖端奇異性的例子。[6]在這之后，應力雜交奇異元、唯一雜交奇異元、雜交混合奇異元等單元相繼被提出。

對于斷裂動力學問題，動態裂紋的傳播問題最早由Kobayshi等人在70年代中期用有限元法進行計算并得以解決，Anderson又將奇異單元用在了該問題的分析上。80年代中期，國際上有許多的學者用有限元法對各種二維裂紋問題進行了精確的分析。

對于韌性斷裂問題，在60年代中期，Swedlow等人用有限元法計算裂紋尖端的塑性流動和裂紋對板厚的影響。在70年代初到80年代末將近20年的時間里，國內外許多學者對對裂紋問題進行了大量的有限元分析，包括裂紋尖端的塑性區、裂紋尖端的HRR場、J積分、裂紋尖端的張開位移、裂紋的尖端鈍化、有限變形的影響、裂紋的韌性擴展和蠕變斷裂等問題。[7]

而對于三維斷裂問題，有限元法的主要思想就是二維方法進行了推廣。

由此可見，有限元方法已廣泛用于彈性斷裂問題、斷裂動力學問題、韌性斷裂問題和裂紋擴展等斷裂問題的研究。

在用常規有限元為斷裂問題打下基礎后，在此基礎上發展出了很多新的有限元方法用來更好地解決斷裂問題。例如，20世紀末被提出的擴展有限元法（XFEM），它允許你可以在不重新劃分網格的情況下計算裂紋擴展。還有解決特殊問題的ICCI M方法，超網格法，混合有限元法；用于動態斷裂問題的時域有限元法，用于細觀問題的單元消失法、自洽有限元法、隨機有限元法和有限樣條法；用于三維裂紋問題以及用于界面裂紋問題的各種新型單元及單元法等等。[8]

4 結語

從發展來看，線彈性斷裂問題和二維斷裂問題都已研究的很成熟，彈塑性、塑性和三維斷裂問題中數值研究正在邁向更為成熟的階段。因為有限元分析具有通用性強、有效性高、易于實現的性質，所以在工程中被廣泛應用。而有限元法作為一種技術更多的是與有限元軟件的發展緊密的結合起來，例如現下大型的商業有限元軟件ABAQUS、ANSYS等等，對于很多工程問題能夠很好的進行分析。而且，現在為了更好地解決斷裂問題，有限元軟件的二次開發領域的強大功能在被不斷地開發出來，并成為斷裂問題分析應用的一大主流方向。

參考文獻：

[1]張曉敏，等.斷裂力學[M].北京：清華大學出版社，2012.

[2]岡村弘之.線性斷裂力學入門[M].南京：江蘇科學技術出版社，1981.

[3]王自強，等.高等斷裂力學[M].北京：科學出版社，2009.

[4]單丙娟.淺談斷裂力學的發展與研究現狀[J].內蒙古石油化工，2007.（7）：55.56.

[5]DaryI L.Logan.有限元方法基礎教程（第五版）[M].北京：電子工業出版社，2014.

[6]Naoto Sakakibara.Finite Element Method in Fracture Mechanics.2008.

[7]黃玲珍，等.計算斷裂力學研究的現狀與進展[J].吉林工業大學學報，1995（1）：120.124.

[8]周愛細，等.計算斷裂力學進展[J].甘肅工業大學學報，1998.24（1）：111.116.

作者簡介：肖玥（1992.），女，碩士，研究方向：結構工程。