常微分方程在數學建模中的應用分析

石夢彤

摘 要：采用常微分方程可以將許多實際問題轉變為數學語言進行研究，在數學建模中應用較為廣泛，是一種重要的數學建模工具。本文首先對常微分方程的概念基礎及建立過程進行分析，進而對常微分方程在數學建模中的具體應用進行例題解析，主要以新品推廣模型、車間通風模型、混合溶液模型的建模過程為例。

關鍵詞：常微分方程 數學建模 應用分析

引言

作為一種數學建模的常用工具，常微分方程可以起到聯系實際、簡化問題分析過程、提升數學建模合理性的作用。目前關于常微分方程在數學建模中應用的研究較多，但多數是從理論層面展開分析，缺乏對于實際問題建模過程的研究。而在實踐過程中，需要具體掌握利用常微分方程建模的方法和步驟，因此需要結合實際生活、生產中的問題，對其進行具體研究。

一、常微分方程的概念基礎及建立過程

1.常微分方程概念基礎

常微分方程在數學建模過程中的應用，需要將復雜的現實問題抽象化，也就是用數學概念和語言，描述現實事物之間的關系，總結出數學規律，并用常微分方程的形式進行表示。在許多實際問題的求解過程中，都可以看到常微分方程的應用。其中，常微分方程的應用合理性主要取決對實際問題歸納、提煉、總結是否合理，還要通過系統的演繹推理，建立數學模型體系，明確需要求解的問題，并對最終結果進行檢驗，確保其能夠滿足實際問題研究的需求。因此，在常微分方程的建立過程中，應充分考慮研究對象的數學意義，這對學生的數學語言表達能力和聯想能力等都有較高要求，需要在長期的實踐總不斷總結經驗，從而掌握這種實用性較強的數學建模方法，提高數學知識技能的實際運用能力[1]。

2.常微分方程建立過程

常微分方程的建立過程主要包括以下幾個重點環節：（1）在方程建立過程中，要熟練運用學習過的基本定律，不僅包括數學定律，還有物理中的牛頓運動定律、萬有引力定律、胡克定理、阿基米德定律等。在研究現實問題的過程中，合理判斷應該運用何種基本定律建立方程十分重要;（2）根據導數定義建立常微分方程，這是常微分方程最常用的一種建立形式，利用函數語言對現實問題進行描述時，如果函數f（x）可微，那么△x與△y的比值則表示y相在x點的瞬時變化率，比如在研究人口增長問題、放射問題、經濟學邊際問題時，都可以采用這種方法;（3）利用微元法構建常微分方程，在運用這種方法時，需要確定微元之間的關系式，直接利用相關定律構建數學模型。比如實際問題中要求的變量Y是與自變量X變化區間[a，b]有關的量，那么Y在[a，b]區間具有可加性，可采用微元方程構建常微分方程，在區間[a，b]內選取一個小區間，求出其部分量△Y近似值，該近似值表示一個連續函數在x處的函數值與dx的乘積，即△Y≈f（x）dx=dY，則dY即為Y的微元，可對方程兩邊同時積分，求解出Y[2]。

二、常微分方程在數學建模中應用的例題解析

1.在新品推廣模型中的應用

新品推廣問題就是在市場中，有一種新品等待推廣，這種新產品在t時刻銷售量為x（t），介于產品性能優越，每個產品都能作為一種宣傳品，也就是說t時刻產品銷量增長率dx/dy與x（t）之間存在正比例關系。另一方面，產品銷量具有一定市場容量，用N表示，而且產品銷量增長率dx/dy與潛在顧客購買的銷量也存在正比例關系。可以構建模型dx-dy=kx（N-x），其中，k>0。通過對變量進行分離，然后對方程兩邊同時進行積分處理，可以得到x（t）=N/（1+Ce-kN），dx-dt=cN-2ke-kN-（1+Ce-kN）-2。從而能夠判斷出，在x（t）大于0小于N時，dx與dt的比值大于0，這表示新品的銷量x（t）是單調遞增的。在Ce-kN-2=0時，有x（t）=N/2，此時d-2x-dt-2=0。在x（t）大于N/2時，則有d-2x-dt-2<0，那么x（t）

2.在車間通風模型中的應用

在車間通風模型的構建過程中，首先假設車間抽象出來的數學參數為長=30m，寬=30m，高等于12m。在車間生產過程中，空氣中的二氧化碳含量為0.12%，假設通入新鮮空氣中的二氧化碳含量為0.04%，如果要在10分鐘后，將空氣中的二氧化碳含量控制在0.06%以內，每分鐘需要通入多少立方米新鮮空氣。在求解這一問題的過程中，首先應明確幾個變量關系。其一，二氧化碳增量等于二氧化碳加入量減去排出量，二氧化碳流進量等于流進速度乘以新鮮空氣中的二氧化碳含量再乘以時間。那么根據上述問題描述，在（t，t+dt）時間內，二氧化碳進入量為agdt，二氧化碳排除量為aydt。瞬時t下的二氧化碳總量為vy，t+dt時刻的二氧化碳總量為vy（y+dy），那么二氧化碳增量可表示為v（y+dy）-vy=vdy。進而能夠得出dy/（y-g）=-（a/v）dt。通過求解可以得出，y=（y-g）e-avt+g，最后求解出，d（-v-t）×ln（-y-g），其中，v=10800，t=10，y=0.0006，g=0.0004，通過帶入到方程中進行計算，可以得出a=1500m3/min，即每分鐘需要通入1500立方米新鮮空氣，才能使車間二氧化碳濃度在10分鐘后降低到0.06%。

結語

綜上所述，通過對常微分方程在解決實際問題時的數學建模方法進行研究，可以看出常微分方程的適用范圍非常廣泛，而且能夠準確描述出實際問題抽象出來的數學變量之間的關系，為相關生產、生活領域的分析預測工作提供依據。

參考文獻

[1]屈紅雁，杜潤梅，徐文達.把數學建模思想融入常微分方程課程中的探討[J].數學學習與研究，2017（13）：25.

[2]沈冬梅，張勝利.數學建模在常微分方程建模中的應用[J].科技展望，2015，25（27）：196.