抽象函數的解答策略

周惠

【摘要】抽象函數問題是高考考查熱點之一，由于函數表現形式的抽象性，構思新穎且性質隱而不露，使得這類問題成為函數內容的一個難點.本文結合最近幾年高考考查的內容，對該問題進行分類解析.

【關鍵詞】抽象函數；高考；隱蔽；啟發

抽象函數是指沒有給出函數具體解析式或圖像，僅給出了函數滿足的一些特征.抽象函數問題涉及函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等諸多性質.高考中，抽象函數出現的頻率逐漸加大，難度亦逐漸加強，由于抽象函數特點的隱蔽性，學生往往感到茫然，束手無策.本文以近年來高考中出現的抽象函數問題為載體，歸納總結抽象函數問題解答的特點和規律，希望對廣大考生有所啟發與幫助.

一、抽象函數的基本模型

f（x+y）=f（x）+f（y）f（x）=kx

f（x+y）=f（x）f（y）f（x）=ax

f（xy）=f（x）+f（y）f（x）=logax

f（xy）=f（x）f（y）f（x）=xn

f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）f（x）=sinx或f（x）=cosx

有了以上的模型，可以幫助我們定位特殊自變量的函數值，揭示抽象函數的相關性質，使我們心中有所“依靠”.

二、抽象函數試題選析

（一）單調性問題

例1已知偶函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，則滿足f（2x-1）

解析因為f（x）為偶函數，所以f（x）=f（|x|），故由f（2x-1）

（二）奇偶性問題

例2若定義在R上的函數f（x）滿足：x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是（）.

A.f（x）為奇函數B.f（x）為偶函數

C.f（x）+1為奇函數D.f（x）+1為偶函數

解析∵x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，

∴令x1=x2=0，得f（0）=-1，

令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，

∴令f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，

∴令f（x）為奇函數，故選C項.

（三）周期問題

例3已知函數f（x）滿足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2 010）=.

解析∵f（1）=14，

令x=1，y=1得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），

∴f（0）=12，

令y=1得4f（x）f（0）=f（x+1）+f（x-1），

即f（x）=f（x+1）+f（x-1），

∴f（x+1）=f（x+2）+f（x），

∴f（x+2）=-f（x-1），

即f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），

所以f（x）的周期為6，故f（2 010）=f（0）=12.

（四）方程思想類問題

例4函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖像關于x=-b2a對稱，據此可推測，對任意的非零實數a，b，c，m，n，p，關于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.

A.{1，2}

B.{1，4}

C.{1，2，3，4}

D.{1，4，16，64}

解析方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0若有四個根x1，x2，x3，x4，則這四個根必可以分成兩組，且每組關于直線x=-b2a對稱，不妨設x1

（五）對稱性問題

例5設函數y=f（x）對一切實數x都滿足f（x+3）=f（3-x），且方程f（x）=0恰好有6個不同的實根，這6個根的和為（）.

A.18

B.12

C.9

D.0

解析函數y=f（x）對一切實數x都滿足f（x+3）=f（3-x），則函數的圖像關于x=3對稱，又因為f（x）恰有6個不同的零點，則此6個零點構成三組關于x=3對稱的點，由中點坐標公式可得出這6個零點的和為18.故選A.

以上列舉了幾類抽象函數的解題策略，但在實際解題過程中往往結合幾種策略，不斷地轉換思維角度，和優化解題策略，盡可能使問題達到最優化、最簡潔，通過對抽象函數的探究，深化函數思想的應用，增強學生分析問題和解決問題的能力.