談核心素養(yǎng)下圓錐曲線的備考
——對(duì)2018年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)解析幾何試題的拓展探究

廣東 駱妃景

歷年來(lái)，全國(guó)卷的解析幾何題都有強(qiáng)大的幾何背景，往往能通過(guò)試題挖掘出多個(gè)優(yōu)美統(tǒng)一的結(jié)論，因此，深受一線數(shù)學(xué)教師的喜愛(ài).筆者借鑒之前研究解析幾何經(jīng)典問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)，從試題分析、題源追溯、多維探究以及核心素養(yǎng)下圓錐曲線備考啟示等方面對(duì)2018年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第19題進(jìn)行分析和探究，希望能夠?qū)ρ芯咳珖?guó)卷的讀者起到拋磚引玉的作用.

1 試題呈現(xiàn)與多解

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明: ∠OMA=∠OMB.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、等角的證明，考查考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)包括邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.試題的重點(diǎn)是題設(shè)幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)幕瘹w方式優(yōu)化運(yùn)算.

1.1 思路分析

證法一為破解此類解析幾何題的通性通法：一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件標(biāo)注到圖形中，利用直線方程的點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式，即可表示出直線方程；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即要證兩角相等，根據(jù)圖形特征，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及斜率公式即可證得結(jié)論.

證法二、證法三、證法四通過(guò)充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)建立幾何元素之間的關(guān)系，為不同基礎(chǔ)和能力的考生搭建思維平臺(tái)，營(yíng)造數(shù)形結(jié)合的環(huán)境，也使解析幾何的思想方法在解答過(guò)程中得到充分展示.

1.2 題源追溯，真題互鑒

(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？請(qǐng)說(shuō)明理由.

背景2(2013·陜西卷·理20)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4，0)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn).

背景1、背景2以及2018年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第19題，這三道解析幾何高考題雖呈現(xiàn)的曲線不同，但考查的核心知識(shí)點(diǎn)是一致的，都是考查直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的位置關(guān)系，都是“方程”與“證明等角”問(wèn)題，2018年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第19題只是把背景1去掉了“是否存在”的外包裝，與背景2更是驚人的相似.在強(qiáng)調(diào)高考改革的今天，通過(guò)改編、創(chuàng)新等手段賦予高考典型試題新的生命，這成為高考命題的一種新走向，所以我們?cè)诟呖紓淇嫉倪^(guò)程中，要注意對(duì)高考真題考查的核心知識(shí)和思想方法進(jìn)行深度挖掘，把握其本質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟，做到“胸中有高考真題”，那么就能做到以不變應(yīng)萬(wàn)變.鑒于此，本文從特殊到一般，進(jìn)一步挖掘2018年全國(guó)卷Ⅰ理科第19題的背景信息和潛能，力促高考真題的引領(lǐng)活動(dòng)，展現(xiàn)真題功能.

2 多維探究

通過(guò)對(duì)試題的多解分析以及背景溯源，發(fā)現(xiàn)這是一類以x軸作為角平分線，使得等角恒成立的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，既然橢圓與拋物線有類似的結(jié)論，那么雙曲線是否也有類似的結(jié)論呢？能否推廣出橢圓、雙曲線和拋物線的一般性結(jié)論呢？通過(guò)探究得到以下結(jié)論.

所以kAQ+kBQ=0，即∠OQA=∠OQB.

很多情況下圓錐曲線都具有相似的性質(zhì)，因此自然會(huì)思考雙曲線、拋物線是否具有結(jié)論1的類似性質(zhì)，經(jīng)過(guò)類比探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論2，3.

結(jié)論2的證明與結(jié)論1類似，讀者可自行證明.

結(jié)論3拋物線C:y2=2px(p>0)，若點(diǎn)P(t,0)，點(diǎn)Q(-t,0)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則∠OQA=∠OQB.

所以kAQ+kBQ=0，即∠OQA=∠OQB.

結(jié)論1,2,3中過(guò)點(diǎn)P的直線變?yōu)檫^(guò)點(diǎn)Q的直線，經(jīng)過(guò)探究得到結(jié)論4.

=0,

所以kPA+kPB=0，即∠OPA與∠OPB互補(bǔ).

很多情況下圓錐曲線都具有相似的性質(zhì)，作類似地探究可發(fā)現(xiàn)雙曲線與拋物線有以下結(jié)論5，6.

結(jié)論6拋物線C:y2=2px(p>0)，若點(diǎn)P(t,0)，點(diǎn)Q(-t,0)，過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則∠OPA與∠OPB互補(bǔ).

結(jié)論5,6的證明與結(jié)論4類似，讀者可自行證明.對(duì)結(jié)論4,5,6的進(jìn)一步挖掘，得到結(jié)論7,8,9.

證明：由結(jié)論4得∠OPA=∠QPB，又由∠OPA=∠QPC可得∠QPB=∠QPC，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，則橢圓在點(diǎn)B處和點(diǎn)C處的切線與x軸所成角的較小角相等.

結(jié)論9拋物線C:y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)A(除頂點(diǎn)外)，點(diǎn)P(t,0)，點(diǎn)Q(-t,0)，直線AQ與拋物線交于另外一點(diǎn)B(除頂點(diǎn)外)，直線AP與拋物線交于另外一點(diǎn)C，則拋物線在點(diǎn)B和點(diǎn)C處的切線與x軸所成角的較小角相等.

所以kQA+kQB=2kQP.

所以直線QA,QP,QB的斜率成等差數(shù)列.

結(jié)論12拋物線C:y2=2px(p>0)，若點(diǎn)P(t,0)，點(diǎn)Q(-t,n)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，則直線QA,QP,QB的斜率成等差數(shù)列.

結(jié)論11,12的證明與結(jié)論10類似，讀者可自行證明.結(jié)論4,5,6逆向探究，推廣到結(jié)論13,14，15.

結(jié)論15拋物線C:y2=2px(p>0)，點(diǎn)P(t,0)，直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足∠OPA與∠OPB互補(bǔ),直線l不垂直于x軸，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)(-t,0).

結(jié)論14，15的證明與結(jié)論13類似，讀者可自行證明.

3 核心素養(yǎng)背景下圓錐曲線的備考啟示

3.1 深入挖掘歷年高考題的教學(xué)功能，關(guān)注通性通法

歷年的全國(guó)卷解析幾何題都有強(qiáng)大的幾何背景，在圓錐曲線備考中要重視試題所蘊(yùn)藏的知識(shí)本質(zhì)及其中通性通法的研究，把握知識(shí)本質(zhì)，在講解圓錐曲線試題時(shí)，要給學(xué)生充分的時(shí)間思考，合理引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號(hào)語(yǔ)言的多重轉(zhuǎn)換，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理素養(yǎng).引導(dǎo)學(xué)生深入思考，自主經(jīng)歷和體驗(yàn)運(yùn)算程序，一點(diǎn)一滴地幫助學(xué)生突破計(jì)算難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算自信心，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).教師通過(guò)多維分析、一題多解、變式等手段調(diào)動(dòng)學(xué)生深入挖掘題目信息的積極性，幫助學(xué)生抽象出通性通法，落實(shí)對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.2 加強(qiáng)解題反思，發(fā)展學(xué)生思維和創(chuàng)造性